A Análise Funcional é uma ramo da matemática que surgiu durante o profundo desenvolvimento da matemática entre séculos 17 e 19. A investigação de modelos e problemas de otimização relacionados com Equações Diferenciais, trouxe a necessidade de entender aspectos e propriedades de certos espaços de funções conectados às soluções do problema original. Mais tarde descobriria-se que algumas propriedades básicas, como estrutura linear, dimensão infinita, métricas e completude, tornariam esses espaços abstratos uma rica fonte para diversos problemas. A investigação destes ambientes marca o nascimento da linha Análise Funcional, que atualmente está relacionada a vastos temas de pesquisa matemática pura e aplicada, como Análise Complexa, Teoria Analítica dos Números, Análise de Fourier, Análise Harmônica, Teoria dos Operadores, Teoria da Aproximação, Teoria da Informação Quântica, dentre outras.

Pesquisadores
Daniel Marinho Pellegrino
Jamilson Ramos Campos
Joedson Silva dos Santos
Nacib André Gurgel e Albuquerque

Esta linha de pesquisa está dedicada ao estudo de propriedades qualitativas associadas às Equações Diferenciais Parciais de Evolução. Os modelos a serem considerados surgem de maneira natural na descrição de diversos fenômenos que evoluem no tempo, como por exemplo, movimento de partículas quânticas, propagação de calor em meios, movimento de fluidos, propagação de ondas, etc. Mais precisamente, buscamos entender quando as equações descrevendo um dado fenômeno possuem soluções, e também como estas se comportam conforme o tempo evolui, isto é, analisaremos propriedades como boa colocação, comportamento assintótico em tempo, existência, caracterização e estabilidade sob perturbações de atratores globais ou atratores pullback, entre outras.

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/589886

Pesquisadores
Fágner Dias Araruna
Felipe W. Chaves-Silva
Flank David Morais Bezerra
Maurício Cardoso Santos

Nesta linha de pesquisa, estuda-se a existência, não existência e multiplicidade de soluções de algumas classes de Equações Diferenciais Parciais Elípticas, definidas em domínios euclidianos, usando-se métodos analítico-funcionais tais como: métodos variacionais e métodos topológicos. Também são abordadas propriedades qualitativas de soluções destas equações, como por exemplo: regularidade, propriedades de simetria e de energia mínima, comportamento assintótico, blow-up, entre outras. Para isto, faz-se necessário o estudo de determinados espaços de funções (Espaços de Lebesgue, Sobolev, Orlicz e Besov), bem como suas propriedades e desenvolvimento de novos espaços de funções. Certas classes de equações podem ser estudadas usando-se o método variacional, o que é feito por meio da pesquisa de pontos críticos de certos funcionais que são definidos em espaços de dimensão infinita juntamente com o auxilio de teoria mini-max e teoria de Morse. Muitas outras equações não apresentam uma estrutura variacional e, portanto, outras técnicas têm sido usadas, tais como, a Teoria do Grau de Brouwer e de Leray-Schauder, Teoremas de Pontos Fixos e a Teoria da Bifurcação. As propriedades qualitativas têm sido estudadas via princípios de máximos, o chamado método de Alexandrov-Serrin (moving plane method) e suas variantes. Também se usa desigualdades do tipo Harnack e a teoria de De Giorgi-Nash-Moser. Grande parte dos problemas pesquisados é motivada por aplicações em outras áreas científicas, principalmente na Física, Astronomia, Climatologia, Biologia, Química, Economia, dentre outras.

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/22093

Atividades da linha de pesquisa
UFPB's webinar on nonlinear analysis and elliptic pde's

Pesquisadores
Bruno Henrique Carvalho Ribeiro
Claudianor Oliveira Alves
Elisandra de Fátima Gloss de Moraes
Everaldo Souto de Medeiros
João Marcos Bezerra do Ó
Manassés Xavier de Souza
Marco Aurélio Soares Souto
Uberlandio Batista Severo

Esta linha de pesquisa está relacionado ao estudo de propriedades geométricas e analíticas de soluções de equações diferenciais parciais válidas em regiões que variam com a própria solução, desconhecidas a priori, e que são chamadas de fronteira livre. Tais equações descrevem de modo bastante realístico fenômenos naturais relacionados à Geometria, Termodinâmica, Dinâmica dos fluidos, Ciências dos materiais, Engenharia financeira, dentre outros. Resultados de regularidade local, taxas de crescimento e regularidade da fronteira livre são alguns dos pontos abordados nesta linha de pesquisa.

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/589886

Pesquisadores
Damião Junio Gonçalves Araújo
José Miguel Urbano

Sistemas dinâmicos são modelos matemáticos para muitos problemas na Física, Biologia, Economia, Engenharia e assim por diante. Estes sistemas dinâmicos são normalmente associados às equações diferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações diferenciais funcionais, equações diferenciais parciais-funcionais e sistemas discretos. Modelos matemáticos são obtidos usando leis empíricas, medições, observações, etc. É frequentemente o caso que algumas das influências que o sistema de sofre são negligenciadas durante a modelagem (por facilidade de análise). Além disso, todos os parâmetros do modelo aproximado são determinados com algum erro. Assim, os modelos práticos são apenas aproximações de um modelo ideal e os erros são inevitáveis. Com isto em mente, é de fundamental importância que os modelos desfrutem de uma certa estabilidade com relação a todas as perturbações possíveis.

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/589886

Pesquisadores
Flank David Morais Bezerra

Diversos fenômenos naturais e modelos em ciência e tecnologia podem ter seu comportamento alterado por meio da aplicação de comandos externos. Por exemplo, um engenheiro pode controlar um sistema mecânico por meio de forcas externas, um economista pode agir sobre um equilíbrio financeiro por meio de taxas, um químico pode modificar um processo por meio da regulagem de temperatura, um médico pode controlar ou curar uma doença por meio de medicamentos, etc. A teoria matemática que visa compreender como atuadores externos podem ser aplicados a sistemas físicos de modo a alterar seu comportamento damos o nome de Teoria do Controle. Dentro desta linha de pesquisa, abordamos problemas de controle que podem ser formulados da seguinte maneira: Dado um sistema evolutivo governado por uma equação (diferencial ou em derivadas parciais). Suponhamos que podemos atuar no sistema por meio de um controle (o lado direito da equação, alguma condição de contorno, ...), queremos saber se é possível construir um controle de tal forma que a solução correspondente comece em um estado inicial dado e que em um certo tempo (tempo de controle) a solução esteja em um estado final desejado (de maneira exata ou aproximada). Também estamos interessados na estabilização de sistemas por meio de mecanismos do tipo feedback, no qual o controle se regula de acordo com as respostas obtidas através de sua interação com o sistema, e um dos temas de grande importância em Teoria do Controle, devido principalmente às suas aplicações em problemas como a atenuação de ruídos e desenvolvimento de estruturas flexíveis. De maneira geral, o estudo da controlabilidade de um sistema físico é bastante delicada, principalmente em dimensão infinita, e mesmo para o caso linear. De fato, a equação diferencial governando a evolução pode ser, por exemplo, do tipo parabólico (equação do calor, sistema de Stokes), do tipo hiperbólico (equação de onda, equações de Maxwell), do tipo dispersivo (equação de Schrödinger, equação de Korteweg-de Vries), o que induz propriedades intrínsecas às soluções, fazendo com que não exista um único método de resolução que não dependa do tipo da equação. Sendo assim, dentro desta linha de pesquisa, nosso objetivo principal é a construção de mecanismos de controle eficientes e baratos para diversos problemas que surgem em diferentes campos da ciência e tecnologia.

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/589886

Pesquisadores
Fágner Dias Araruna
Felipe W. Chaves-Silva
Maurício Cardoso Santos

A Análise Geométrica é uma área matemática na interface entre a Geometria Diferencial, Ánálise, Equações Diferenciais Parciais e Física Matemática. Inclui tanto o uso de métodos geométricos no estudo de Equações Diferenciais Parciais como a aplicação da teoria das Equações Diferenciais Parciais à Geometria. Desde o seu surgimento, no século XX, tem tido uma prolífica capacidade em solucionar problemas não apenas em suas linhas geradoras, mas em diversas outras áreas das quais podemos citar a Geometria Algébrica, a Topologia e a Relatividade Geral. Dentre os temas de maior relevância nesta linha, podemos mencionar os estudos sobre o Fluxo de Ricci, Problemas isoperimétricos, Estabilidade, Equações de Allen-Cahn, Min-max e problemas de curvatura prescrita. 

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/2607146793929249

Pesquisadores
Allan George de Carvalho Freitas
João Marcos Bezerra do Ó
Manassés Xavier de Souza

Em Geometria Diferencial há duas grandes vertentes que por vezes interagem entre si, a saber: a Geometria intrínseca e a extrínseca. Na primeira investigamos como uma variedade munida de uma métrica é caracterizada mediantes restrições na Curvatura e seus traços a exemplo dos teoremas de Bonnet-Myers e Gauss-Bonnet. Já a Geometria extrínseca se preocupa com as propriedades geométricas das Subvariedades em uma variedade ambiente que poderá ser Riemanniana, Lorentziana, afim ou mais geral. Estas subvariedades podem resultar como pontos críticos de alguns funcionais associados como o comprimento (geodésicas) e a área (o problema de Plateau). Podemos investigar resultados de existência ou caracterização de subvariedades em certas geometrias a exemplo dos Teoremas de Hilbert e Bernstein. 

Grupo de Pesquisa no diretório do CNPq: http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/2607146793929249

Pesquisadores
Allan George de Carvalho Freitas
Eraldo Almeida Lima Júnior
Henrique Fernandes de Lima
Márcio Silva Santos

A teoria das singularidades é uma disciplina ampla com fronteiras vagas. Trata da geometria e da topologia de espaços e aplicações definidos por polinômios ou equações analíticas que não são regulares. A teoria usa técnicas de vários ramos da matemática e contribui no desenvolvimento de áreas dentro e fora da matemática, tais como a geometria algébrica, teoria de nós, ótica, robótica e visão computacional. São as amplas aplicações dessa teoria que fizeram o seu sucesso durante as últimas três décadas. Temas de pesquisa: Topologia das variedades singulares e aplicações analíticas Este tema descreve os invariantes numéricos (de natureza algébrica, topológica ou geométrica) associados às variedades singulares e às aplicações analíticas. Também trata da equisingularidade e trivialidade topológica de famílias de variedades singulares e de aplicações analíticas. Topologia e classificação das singularidades e o estudo de seus invariantes Descrição de invariantes numéricos (de natureza algébrica, topológica ou geométrica) associados às variedades singulares e às aplicações analíticas. Também trata da equisingularidade e trivialidade topológicas de famílias de variedades singulares e de aplicações analíticas. Equissingularidades e Geometria Definir multiplicidades de equações diferenciais parciais de primeira ordem. 

Pesquisadores
Aurélio Menegon Neto
Juan José Nuño Ballesteros
Miriam da Silva Pereira
Otoniel Nogueira da Silva

Esta área de pesquisa tem como objetivo a análise de propriedades qualitativas de funcionais de Wiener, Gaussianos, semimartingales, etc, e também a análise de equações diferenciais estocásticas. Temas de interesse são: (a) Existência e suavidade de distribuições de probabilidade de funcionais de processos estocásticos e conexões com operadores hipoelípticos; (b) Representações de processos estocásticos através de operadores diferenciais e integrais do tipo funcional em espaços de processos; (c) Representações de EDP em dinâmica de fluidos (Navier-Stokes, Burgers, etc) via equações diferenciais estocásticas progressivas-regressivas; (d) Estudo de equações de evolução dirigidas por ruídos Gaussianos via teoria de semigrupos em espaços de Banach, mais comumente, em espaços de Hilbert; (e) Estudo de equações diferenciais estocásticas, particularmente progressivas-regressivas, e conexões com EDP parabólicas; (f) Equações dirigidas por movimento Browniano fracionário, rough paths; (g) Controle estocástico não-Markoviano do tipo path-dependent e conexões com soluções de viscosidade.

Pesquisadores
Alberto Masayoshi Ohashi
Alexandre de Bustamante Simas
Evelina Shamarova

Esta linha de pesquisa engloba comportamento hidrodinâmico de sistemas de partículas, processos estocásticos com interação local, teoria assintótica e inferência em processos estocásticos.

Pesquisadores
Alexandre de Bustamante Simas
Alberto Masayoshi Ohashi
Evelina Shamarova