5.5 Equações diferenciais com coeficientes constantes

Na equação diferencial (5.14) se fazemos $P(x)=a$ , $Q(x)=b$ , $R(x)=c$ e $G(x)=0$ , com $a$ , $b$ e $c$ constantes reais então ela se transforma na seguinte equação:

$\begin{equation} ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0 \label{edoconst1} \end{equation}$

(5.18)

É natural considerar uma solução de (5.18) na forma:

$\begin{equation} y=e^{\alpha x} \label{edoconst2} \end{equation}$

(5.19)

com $\alpha$ sendo uma constante a determinar. Derivando $y$ dada por (5.19) em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle y^{\prime }(x)=\alpha e^{\alpha x}\label{edoconst3}$
	$\displaystyle y^{\prime \prime }(x)=\alpha ^2 e^{\alpha x}\label{edoconst4}$

Substituindo os valores de $y$ , $y^{\prime }$ e $y^{\prime \prime }$ em (5.18) obtemos:

$a \alpha ^2 e^{\alpha x}+b \alpha e^{\alpha x}+ ce^{\alpha x}=0$

que resulta na seguinte igualdade:

$(a \alpha ^2 +b \alpha + c)e^{\alpha x}=0$

Como $e^{\alpha x}$ é sempre diferente, devemos ter que:

$\begin{equation} a \alpha ^2 +b \alpha + c=0 \label{edoconst5} \end{equation}$

(5.20)

A equação (5.20) é conhecida como equação caracter $\'{\i }$ stica associada à equação (5.18). Temos então três casos a considerar: as ra $\'{\i }$ zes $\alpha$ de (5.20) são reais e distintas, elas são reais e iguais ou são complexas conjugadas. Quando forem reais e distintas, isto é, $\alpha _1$ e $\alpha _2$ satisfazendo a equação (5.20) então temos duas soluções linearmente independentes da equação (5.18), dadas por:

$\begin{equation*} y_1(x)=e^{\alpha _1 x},\; \; \; y_2(x)=e^{\alpha _2 x}. \end{equation*}$

Essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções da equação (5.18) e, portanto, a solução geral dessa equação é dada pela combinação linear dessas duas soluções, ou seja, $y$ dada por

$\begin{equation} y=c_1e^{\alpha _1 x}+c_2 e^{\alpha _2 x} \end{equation}$

(5.21)

com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitrárias, é a solução geral da equação (5.18). Se as raízes forem iguais, isto é, $\alpha _1=\alpha _2$ então uma solução é da forma $y_1=e^{\alpha _1 x}$ e a outra solução linearmente independente com essa é dada por $y_2=xe^{\alpha _2 x}$ que é encontrada usando o método de variação dos parâmetros. Logo a solução geral da equação (5.18) nesse caso, é dada por:

$\begin{equation} y=c_1e^{\alpha _1 x}+c_2 x e^{\alpha _2 x} \end{equation}$

(5.22)

com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitrárias. No caso complexo, uma das ra $\'{\i }$ zes sendo da forma $\alpha _1=r_1+ir_2$ uma solução complexa é da forma

$\begin{equation} y=e^{r_1+ir_2 x} \label{edoconst6} \end{equation}$

(5.23)

Se queremos as duas soluções reais linearmente independentes da equação (5.18), para esse caso, basta tomar $y_1$ como sendo a parte real de (5.23) e $y_2$ como sendo a parte imaginária (5.23), ou seja,

$\begin{equation} y_1=\cos (r_2 x) e^{r_1 x},\; \; \; y_2=\operatorname{sen}(r_2 x) e^{r_1 x}\end{equation}$

(5.24)

E a solução geral de (5.18) é dada por

$\begin{equation} y=c_1\cos (r_2 x) e^{r_1 x}+c_2 \operatorname{sen}(r_2 x) e^{r_1 x} \end{equation}$

(5.25)

com $c_1$ e $c_2$ constantes arbitrárias. Quando estamos resolvendo uma equação diferencial do tipo (5.18) satisfazendo condições iniciais então podemos determinar as constantes $c_1$ e $c_2$ , ou seja, elas deixam de ser arbitrárias.

Example 115. Considere a equação diferencial

$\begin{equation} y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0\label{execont1} \end{equation}$

(5.26)

com os dados iniciais dados por

$\begin{equation} y(0)=1, \; \; y’(0)=2.\label{exeini} \end{equation}$ (5.27)

A equação caracter $\'{\i }$ stica associada à equação (5.26) é dada por

$\begin{equation} r^2-5r+6=0\end{equation}$ (5.28)

cujas ra $\'{\i }$ zes são

$\begin{equation} r_1=2,\; \; \; r_2=3 \end{equation}$ (5.29)

Logo a solução geral de (5.26) é

$\begin{equation} y=c_1 e^{2x}+c_2 e^{3x} \end{equation}$ (5.30)

Como queremos que essa solução satisfaça as condições iniciais (5.27) devemos ter:

$\displaystyle y(0)=c_1+c_2=1 \nonumber$
$\displaystyle y’(0)=2c_1+3c_2=2\nonumber$

resolvendo o sistema acima, obtemos, $c_1=1$ e $c_2=0$ . Logo, a única solução da equação (5.26) que satisfaz as condições iniciais (5.27) é $y=e^{2x}$ .

Example 116. Considere a equação diferencial

$\begin{equation} y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=0\label{execont1} \end{equation}$

(5.31)

A equação caracter $\'{\i }$ stica associada à equação (5.31) é dada por

$\begin{equation} r^2-6r+9=0\end{equation}$ (5.32)

cuja ra $\'{\i }$ z é

$\begin{equation} r_1=r_2=3 \end{equation}$ (5.33)

Logo a solução geral de (5.31) é

$\begin{equation} y=c_1 e^{3x}+c_2x e^{3x} \end{equation}$ (5.34)

Example 117. Considere a equação diferencial

$\begin{equation} y^{\prime \prime }+y=0\label{execont1} \end{equation}$

(5.35)

A equação caracter $\'{\i }$ stica associada à equação (5.35) é dada por

$\begin{equation} r^2+1=0\end{equation}$ (5.36)

cujas ra $\'{\i }$ zes complexas são

$\begin{equation} r_1=i,\; \; \; r_2=-i \end{equation}$ (5.37)

Logo a solução geral de (5.35) é

$\begin{equation} y=c_1 \cos x+c_2 \operatorname{sen}x. \end{equation}$ (5.38)

	$\displaystyle y(0)=c_1+c_2=1 \nonumber$
	$\displaystyle y’(0)=2c_1+3c_2=2\nonumber$