5.6 Exerc $\'{\i }$ cios

Resolva as seguintes equações diferenciais lineares com condições iniciais dadas:
1. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=0,\; \; \; y(0)=1,\; \; y^{\prime }(0)=2$ .
2. $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+y=0,\; \; \; y(0)=0,\; \; y^{\prime }(0)=1$ .
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
1. $y^{\prime \prime }-y^{\prime }+y=0,$
2. $y^{\prime \prime }+3y=0,$
3. $y^{\prime \prime }-9y=0.$
Mostre que as equações abaixo tem duas soluções linearmente independentes e calcule o Wronskiano de cada uma delas:
1. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+2y=0,$
2. $y^{\prime \prime }+4y=0,$
3. $y^{\prime \prime }-8y=0.$
Considere o problema não homogêneo abaixo:

$\begin{equation} ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=g,\label{exerc1} \end{equation}$ (5.39)

onde $a$ , $b$ , $c$ e $g$ são funções de $x$ diferenciáveis. Suponha que $y_1$ e $y_2$ são soluções linearmente independentes do problema homogêneo associado ao problema (5.39):

$\begin{equation} ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0.\label{exerc2} \end{equation}$ (5.40)

Considere uma solução particular de (5.39) dada por

$\begin{equation} y_ p=c_1 y_1+c_2 y_2 \label{exerc3} \end{equation}$ (5.41)

onde $c_1$ e $c_2$ são funções de $x$ . Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular $y_ p$ de (5.39). Ou seja, suponha que $c^{\prime }_1 y_1+c^{\prime }_2 y_2=0$ , derive (5.41) para obter $y^{\prime }_ p$ e $y^{\prime \prime }_ p$ substitua esses valores em (5.39) para obter o sistema

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}[l]cc^{\prime }_1 y_1+c^{\prime }_2 y_2=0\\ c^{\prime }_1 y^{\prime }_1+c^{\prime }_2 y^{\prime }_2=\dfrac {g}{a} \end{array}\right.\label{exerc4} \end{equation}$ (5.42)

Resolva esse sistema para $c_1$ e $c_2$ e encontre a solução particular $y_ p$ dada por (5.41) onde $c_1$ e $c_2$ são soluções de (5.42). Logo a solução geral do problema (5.39) é dada por

$y(x)=y_ p(x)+c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)$

onde $c_1$ e $c_2$ são constantes arbitrárias.
Aplique o método de variação dos parâmetros do exerc $\'{\i }$ cio anterior para determinar a solução geral dos problemas não homogêneos abaixo:
1. $y^{\prime \prime }+y=\operatorname{sen}x,$
2. $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+y=e^ t,$
3. $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=\tan x.$

5.6 Exerccios

5.6 Exerc $\'{\i }$ cios