5.4 Soluções Fundamentais

A equação

$\begin{equation} y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0 \label{ed8}\end{equation}$

(5.16)

é a equação homogênea associada à equação (5.15).

Theorem 114. Se $y=y_{1}(x)$ e $y=y_{2}(x)$ são soluções da equação diferencial (5.16) então $y=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x),$ ( $c_{1}$ e $c_{2}$ constantes arbitrárias) é também solução de (5.16).

Duas soluções $y_{1}$ e $y_{2}$ de (5.16) formarão um conjunto fundamental de soluções se toda solução de (5.16) puder ser escrita como combinação linear de $y_{1}$ e $y_{2}$ . O Wronskiano de $y_{1}$ e $y_{2}$ é dado por

$\begin{equation} W(y_{1},y_{2})=\left\vert \begin{array}[c]{cc}y_{1} & y_{2}\\ y_{1}^{\prime } & y_{2}^{\prime }\end{array} \right\vert =y_{1}y_{2}^{\prime }-y_{2}y_{1}^{\prime }\end{equation}$

(5.17)

se $W(y_{1},y_{2})\neq 0$ então $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um conjunto fundamental de solução de (5.16). Isto quer dizer que as soluções $y_{1}$ e $y_{2}$ são linearmente independentes e toda solução de (5.16) se escreve como combinação linear dessas duas soluções.