5.3 Equações Diferenciais de $2^{a}$ Ordem

Uma equação diferencial de $2^{a}$ ordem, na forma mais geral, é uma equação do tipo

$\begin{equation} F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0. \label{edosec1}\end{equation}$

(5.11)

onde $x$ é a variável independente, e $y=y(x)$ é a variável dependente, aqui $y^{\prime }=\dfrac {dy}{dx},\ y^{\prime \prime }=\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}},$ $F(x,y,t,w)$ é uma função dada. Em muitas situações de muitos problemas de aplicações (na f $\'{\i }$ sica, na matemática, etc.) a equação (5.11) se apresenta na seguinte forma

$\begin{equation} y^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime }). \label{edosec2}\end{equation}$

(5.12)

Theorem 110. Se as funções $f$ , $f_{y}$ e $f_{v}$ são cont $\'{\i }$ nuas numa região aberta $R$ do espaço tri-dimensional $xyv$ e se o ponto $(x_{0},y_{0},y_{0}^{\prime })$ está em $R$ , então em algum intervalo em torno de $x_{0}$ , existe uma única solução $y=\phi (x)$ da equação diferencial (5.12) que satisfaz as condições iniciais

$\begin{equation} y(x_{0})=y_{0},\, \, \, y^{\prime }(x_{0})=y_{0}^{\prime }. \label{edosecini}\end{equation}$

(5.13)

A equação geral linear de segunda ordem pode ser dada no seguinte modo

$\begin{equation} P(x)y^{\prime \prime }+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=G(x), \label{edosec3}\end{equation}$

(5.14)

onde $P$ , $Q$ , $R$ e $G$ são funções dadas.

Example 111. Equação de Legendre de ordem $\alpha$

$(1-x^{2})y^{\prime \prime }-2xy^{\prime }+\alpha (\alpha +1)y=0$

Example 112. Equação de Bessel de ordem $\nu$

$x^{2}y^{\prime \prime }+xy^{\prime }+(x^{2}-\nu ^{2})y=0.$

Supondo $P$ , $Q$ , $R$ e $G$ cont $\'{\i }$ nuas num certo intervalo $\alpha <x<\beta$ , e que $P$ nunca se anula no intervalo, podemos dividir a equação (5.14) por $P(x)$ e obter uma equação da forma

$\begin{equation} y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=g(x). \label{ed7}\end{equation}$

(5.15)

Theorem 113. Se as funções $p$ , $q$ e $g$ são cont $\'{\i }$ nuas num intervalo $\alpha <x<\beta$ , então existe uma e somente uma função $y=\phi (x)$ que satisfaz a equação diferencial (5.15) e as condições iniciais (5.13).

5.3 Equações Diferenciais de Ordem

5.3 Equações Diferenciais de $2^{a}$ Ordem