10 Integrais Curvilíneas

Seja $f$ uma função contínua definida numa região $D$ do plano-xy que contém a curva suave $C:\ x=\alpha (t),\ \ y=\beta (t),\ \ a\leq t\leq b.$

Particionando o intervalo $[a,b]$

$a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b$

Denotemos por $\left\vert P\right\vert$ a norma desta partição. Se $P_{k}(x_{k},y_{k})$ é o ponto em $C$ correspondente a $t_{k},$ então os pontos $P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n}$ dividem $C$ em $n$ partes $\overline{P_{k-1}P_{k}}.\,$ Seja

$\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1},\ \ \Delta y_{k}=y_{k}-y_{k-1},\ \ \Delta s_{k}=\text { comprimento de }\overline{P_{k-1}P_{k}}$

Para cada $k,$ seja $Q_{k}(u_{k},v_{k})$ um ponto em $\overline{P_{k-1}P_{k}}.$ Consideremos os três seguintes somatórios

$\sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta s_{k},\ \ \sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta x_{k},\ \ \sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta y_{k}$

Definimos as integrais curvilíneas se os limites existirem

$\begin{equation} \int _{C}f(x,y)ds=\lim _{\left\vert p\right\vert \rightarrow 0}\sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta s_{k} \label{curv1}\end{equation}$

(4)

$\begin{equation} \int _{C}f(x,y)dx=\lim _{\left\vert p\right\vert \rightarrow 0}\sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta x_{k} \label{curv2}\end{equation}$

(5)

$\begin{equation} \int _{C}f(x,y)dy=\lim _{\left\vert p\right\vert \rightarrow 0}\sum _{k}f(u_{k},v_{k})\Delta y_{k}. \label{curv3}\end{equation}$

(6)

Se $f$ é contínua em $D,$ então os limites em $\left( \ref{curv1}\right) ,\ \left( \ref{curv2}\right)$ e $\left( \ref{curv3}\right)$ existem e são os mesmos para toda parametrização de $C$ (desde que se adote a mesma orientação). Usando a parametrização de $C:$ $x=\alpha (t),\ y=\beta (t),\ \ a\leq t\leq b,$ temos

$dx=\alpha ^{\prime }(t)dt,\ \ dy=\beta ^{\prime }(t),\ ds=\sqrt{\left( dx\right) ^{2}+\left( dy\right) ^{2}}=\sqrt{\left( \alpha ^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( \beta ^{\prime }(t)\right) ^{2}}dt$

Temos então o resultado.

Se uma curva suave $C$ é dada por $x=\alpha (t),\ y=\beta (t),\ a\leq t\leq b$ e se $f(x,y)$ é contínua numa região $D$ contendo $C,$ então

$\int _{C}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f(\alpha (t),\beta (t))\sqrt{\left( \alpha ^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( \beta ^{\prime }(t)\right) ^{2}}dt$

$\int _{C}f(x,y)dx=\int _{a}^{b}f(\alpha (t),\beta (t))\alpha ^{\prime }(t)dt$

$\int _{C}f(x,y)dy=\int _{a}^{b}f(\alpha (t),\beta (t))\beta ^{\prime }(t)dt.$

Tal resultado pode ser extendido para curvas parcialmente suaves, isto é, se

$C=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}$

então

$\int _{C}f(x,y)ds=\int _{C_{1}}f(x,y)ds+\int _{C_{2}}f(x,y)ds+\cdots +\int _{C_{n}}f(x,y)ds.$

Também

$\int _{C}f(x,y)ds=-\int _{-C}f(x,y)ds$

$\int _{C}\left( f(x,y)+g\left( x,y\right) \right) ds=\int _{C}f(x,y)ds+\int _{C}g(x,y)ds.$

Calcule $\int _{C}xy^{2}ds$ se $C$ admite a parametrização

$x=\cos t,\ y=\operatorname {sen}t,\ 0\leq t\leq \frac{\pi }{2}.$

Aplicando o Teorema obtemos

$\int _{C}xy^{2}ds=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos t\left( \operatorname {sen}^{2}t\right) \sqrt{\operatorname {sen}^{2}t+\cos ^{2}t}dt=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( \operatorname {sen}^{2}t\right) \cos t\ dt=\frac{1}{3}.$

Calcule $\int _{C}xy^{2}dx$ e $\int _{C}xy^{2}dy$ se $C$ é a parte da parábola $y=x^{2}$ de $(0,0)$ a $\left( 2,4\right) .$

As equações paramétricas de $C$ são

$x=t,\ y=t^{2},\ 0\leq t\leq 2$

As diferenciais são

$dx=dt,\ dy=2tdt$

assim

$\int _{C}xy^{2}dx=\int _{0}^{2}t(t^{2})^{2}dt=\int _{0}^{2}t^{5}dt=\left[ \frac{t^{6}}{6}\right] _{0}^{2}=\frac{32}{3},$

$\int _{C}xy^{2}dy=\int _{0}^{2}t\left( t^{2}\right) ^{2}2tdt=2\int _{0}^{2}t^{6}dt=\frac{2}{7}\left[ t^{7}\right] _{0}^{2}=\frac{256}{7}.$

Podiamos ter feito: $y=x^{2},\ 0\leq x\leq 2,$ assim $dx=dx$ e $dy=2xdx$

$\int _{C}xy^{2}dx=\int _{0}^{2}x\left( x^{2}\right) ^{2}dx=\int _{0}^{2}x^{5}dx=\frac{32}{3}$

$\int _{C}xy^{2}dy=\int _{0}^{2}x\left( x^{2}\right) ^{2}2xdx=2\int _{0}^{2}x^{6}dx=\frac{256}{7}.$

Considere a função vetorial $\overrightarrow {F}$ com domínio $D$ onde a curva $C:\ \overrightarrow {r}(t)=\alpha (t)\mathbf{i}+\beta (t)\mathbf{j},\ \ a\leq t\leq b,$ está inserida. Definimos

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {r}=\int _{a}^{b}\overrightarrow {F}(\overrightarrow {r}(t))\cdot \overrightarrow {r}^{\prime }(t)\ dt$

em outras palavras podemos dizer que se $\overrightarrow {F}$ $(x,y)=M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}$ $\$ e $\overrightarrow {r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}$ então

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {r}=\int _{C}M(x,y)dx+N(x,y)dy.$

Se $\overrightarrow {r}$ e $\overrightarrow {s}$ representam dois caminhos equivalentes e regulares então

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {r}=\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {s}$

sempre que $\overrightarrow {r}$ e $\overrightarrow {s}$ originem $C$ na mesma direção, e

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {r}=-\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {s}$

se $\overrightarrow {r}$ e $\overrightarrow {s}$ originam $C$ em direções opostas. O que fizemos para o plano, vale também para o espaço, ou seja, se

$\overrightarrow {F}=M\mathbf{i}+N\mathbf{j}+P\mathbf{k}$

com $M,\ N$ e $P$ funções escalares e suponha que $C$ parametrizada por

$x=f(t),\ y=g(t),\ z=h(t),\ \ a\leq t\leq b$

assim

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {r}=\int _{C}Mdx+Ndy+Pdz$

$=\int _{a}^{b}M(f(t),g(t),h(t))f^{\prime }(t)dt+\int _{a}^{b}N(f(t),g(t),h(t))g^{\prime }(t)dt+\int _{a}^{b}P(f(t),g(t),h(t))h^{\prime }(t)dt.$

Seja $\overrightarrow {F}$ um campo vetorial

$\overrightarrow {F}(x,y)=\sqrt{y}\mathbf{i}+\left( x^{3}+y\right) \mathbf{j}$

calcular a integral de linha de $\overrightarrow {F}$ desde $\left( 0,0\right)$ a $\left( 1,1\right)$ ao longo das curvas

a) a reta $L$ de equações paramétricas $x=t,$ $y=t,\ 0\leq t\leq 1;$

b) o caminho $C$ de equações paramétricas $x=t^{2},\ y=t^{3},\ \ 0\leq t\leq 1.$

Para o caminho de parte (a) $\$ seja $\overrightarrow {\alpha }(t)=t\mathbf{i}+t\mathbf{j.}$ Então $\overrightarrow {\alpha }^{\prime }(t)=\mathbf{i}+\mathbf{j}$ e $\overrightarrow {F}\left( \overrightarrow {\alpha }(t)\right) =\sqrt{t}\mathbf{i}+\left( t^{3}+t\right) \mathbf{j,}$ assim,

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {\alpha }=\int _{(0,0)}^{(1,1)}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {\alpha }=\int _{0}^{1}\left( \sqrt{t}+t^{3}+t\right) dt=\left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+\frac{t^{4}}{4}+\frac{t^{2}}{2}\right) |_{0}^{1}=\frac{17}{12}$

(b) Tomamos $\overrightarrow {\alpha }(t)=t^{2}\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{j,}$ então $\overrightarrow {\alpha }^{\prime }(t)=2t\mathbf{i}+3t^{2}\mathbf{j}$ e

$\int _{C}\overrightarrow {F}\cdot d\overrightarrow {\alpha }=\int _{0}^{1}\overrightarrow {F}(\overrightarrow {\alpha }(t))\cdot d\overrightarrow {\alpha }^{\prime }(t)=\int _{0}^{1}\left( 2t^{\frac{5}{2}}+3t^{8}+3t^{5}\right) dt=\frac{59}{42}.$

Eis um exemplo em a integral depende do caminho em que se está integrando.