9 Campos Vetoriais

Um campo vetorial em três dimensões é uma função $\overrightarrow {F}$ cujo domínio $D$ é um subconjunto do $\mathbb {R}^{3}$ e cujo contradomínio é um subconjunto do $\mathbb {R}^{3},$ ou seja,

	$\displaystyle$	$\displaystyle \begin{array}[c]{cc}\overrightarrow {F}: & \ \ \mathbb {R}^{3}\rightarrow \mathbb {R}^{3}\end{array}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle \begin{array}[c]{cc}& (x,y)\rightarrow F(x,y,z) \end{array}$

onde

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$

e $M,\ N$ e $P$ são funções escalares.

Em duas dimensões

$\overrightarrow {F}(x,y)=M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}$

Seja $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ o vetor posição de $(x,y,z)$ e denotemos por $\overrightarrow {u}=\frac{1}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert }\mathbf{r}$ o vetor unitário com a mesma direção de $\mathbf{r.}$ Um campo vetorial $\overrightarrow {F}$ é um campo quadrado inverso se

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=\frac{c}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{2}}\overrightarrow {u}=\frac{c}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{3}}\mathbf{r}$

Note que

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=\frac{c}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{3}}\mathbf{r=}\frac{c}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{3/2}}\left( x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\right)$

Exemplos: Força de gravidade. Lei de gravitação universal de Newton

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=-G\frac{m_{0}m}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{2}}\overrightarrow {u}.$

Lei de Coulomb

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=-c\frac{Qq}{\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert ^{2}}\overrightarrow {u}.$

Se $f$ é uma função escalar então $\nabla f$ é um campo vetorial definido por

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k.}$

Um campo vetorial $\overrightarrow {F}$ é conservativo se

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)$

para alguma função escalar $f.$

Se $\overrightarrow {F}$ é conservativo, então a função $f$ é a função potencial para $\overrightarrow {F},$ $f(x,y,z)$ é o potencial no ponto $\left( x,y,z\right) .$

Se $(x_{0},y_{0},z_{0})$ está no domínio de $\overrightarrow {F}=\nabla f,$ então o vetor gradiente $\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})=\overrightarrow {F}(x_{0},y_{0},z_{0})$ é normal à superfície de nível $S$ de $f$ que contém o ponto $P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

A superfície $S$ é o gráfico de $f(x,y,z)=f(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Todo vetor $\overrightarrow {F}(x_{0},y_{0},z_{0})$ num campo vetorial conservativo é normal à superfície de nível de uma função potencial $f$ para $\overrightarrow {F}$ que contém $P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo.

Prova: Seja $\overrightarrow {F}$ um campo quadrado inverso, isto é,

$\overrightarrow {F}(x,y,z)=\frac{cx}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{3/2}}\mathbf{i}+\frac{cy}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{3/2}}\mathbf{j}+\frac{cz}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{3/2}}\mathbf{k}$

se considerarmos

$f(x,y,z)=\frac{-c}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{1/2}}=-\dfrac {c}{r},\ \ \text {onde }r=\left\Vert \mathbf{r}\right\Vert =\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{1/2}$

então

$\nabla f(x,y,z)=\overrightarrow {F}(x,y,z).$

As superficies de nível para $f$ são os gráficos da equação

$-\frac{c}{\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{1/2}}=k,\ \ \ \left( k<0\right)$

Assim

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{c^{2}}{k^{2}}.$

As superfícies são esferas com centro na origem.

Se $\overrightarrow {F}(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$ onde $M,N$ e $P$ tem derivadas parciais em alguma região. O rotacional de $\overrightarrow {F}$ é dado por

$rot\ \overrightarrow {F}=\nabla \times \overrightarrow {F}=\left( \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z}\right) \mathbf{i}+\left( \frac{\partial M}{\partial z}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \mathbf{j}+\left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) \mathbf{k.}$

Notação:

$rot\ \overrightarrow {F}=\nabla \times \overrightarrow {F}=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}i & j & k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ M & N & P \end{array} \right\vert$

Seja $\overrightarrow {F}(x,y,z)=xy^{2}z^{4}\mathbf{i}+\left( 2x^{2}y+z\right) \mathbf{j}+y^{3}z^{2}\mathbf{k,\ }$ ache $\nabla \times \overrightarrow {F}.$

Solução: $\nabla \times \overrightarrow {F}=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}i & j & k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ xy^{2}z^{4} & 2x^{2}y+z & y^{3}z^{2}\end{array} \right\vert =\left( 3y^{2}z^{2}-1\right) \mathbf{i}+4xy^{2}z^{3}\mathbf{j}+\left( 4xy-2xyz^{4}\right) \mathbf{k.}$

Seja $\overrightarrow {F}(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k,}$ com $M,N$ e $P$ com derivadas parciais em alguma região. A divergência de $\overrightarrow {F},$ é dada por

$\operatorname {div}F=\nabla \cdot \overrightarrow {F}=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z}.$

Se $\overrightarrow {F}(x,y,z)=xy^{2}z^{4}\mathbf{i}+\left( 2x^{2}y+z\right) \mathbf{j}+y^{3}z^{2}\mathbf{k,}$ ache o $\operatorname {div}F.$

Solução:

$\operatorname {div}F=y^{2}z^{4}+2x^{2}+2y^{3}z.$