10.1 Aplicação

Imagine uma curva $C$ no espaço tridimensional como um fio de arame delgado com densidade variável. Suponha que a densidade é expressa por $\delta (x,y,z).$ A massa total do arame é

$m=\int _{C}\delta (x,y,z)ds$

o centro de gravidade se define por

$\overline{x}m=\int _{C}x\delta (x,y,z)d,\ \ \overline{y}m=\int _{C}y\delta (x,y,z)ds,\ \ \overline{z}m=\int _{C}z\delta (x,y,z)ds.$

Um arame de densidade constante se chama uniforme. Neste caso, o centro de gravidade é o centróide.

Calcular a massa do arame $m$ de uma mola que tem a forma de uma hélice cuja equação vetorial é

$\overrightarrow {\alpha }(t)=a\cos t\mathbf{i}+a\operatorname {sen}t\mathbf{j}+bt\mathbf{k,\ \ }0\leq t\leq 2\pi ,$

se a densidade em $\left( x,y,z\right)$ é $\delta (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

A integral para calcular $M$ é

	$\displaystyle M$	$\displaystyle =\int _{C}\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ds$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\left( a^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\operatorname {sen}^{2}t+b^{2}t^{2}\right) \sqrt{\left( -a\operatorname {sen}t\right) ^{2}+\left( a\cos t\right) ^{2}+\left( bt\right) ^{2}}dt$

dai

$M=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\int _{0}^{2\pi }\left( a^{2}+b^{2}t^{2}\right) dt=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( 2\pi a^{2}+\frac{8}{3}\pi ^{3}b^{2}\right) .$

Neste exemplo,

	$\displaystyle \overline{z}M$	$\displaystyle =\int _{C}z\delta (x,y,z)ds=\int _{C}z\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ds$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\int _{0}^{2\pi }bt\left( a^{2}+b^{2}t^{2}\right) dt=b\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( 2\pi ^{2}a^{2}+4\pi ^{4}b^{2}\right) .$