4.4 Série de Fourier

Dada uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ , integrável e absolutamente integrável, que possa ser escrita na forma:

$\begin{equation} f\left( x\right) \simeq \dfrac {1}{2}a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \dfrac {n\pi x}{L}+b_{n}\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\right),\label{serfou} \end{equation}$

(4.14)

a expressão do lado direito é a série de Fourier de $f$ .

Que relação há entre $f$ e sua série de Fourier? Será que a igualdade sempre ocorre?

Vamos estudar as condições suficientes para que a função $f$ seja igual à sua série de Fourier.

Definition 90. Uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ será seccionalmente cont $\'{\i }$ nua se ela tiver apenas um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados $a<b$ , existem $a\leq a_{1}<a_{2}<...<a_{n}\leq b$ , tais que $f$ é cont $\'{\i }$ nua em cada intervalo aberto $\left( a_{j},a_{j+1}\right) ,$ $j=1,...,n-1,$ e existem os limites $f\left( a_{j}+0\right) =\lim \limits _{x\rightarrow a_{j}^{+}}f\left( x\right)$ e $f\left( a_{j}-0\right) =\lim \limits _{x\rightarrow a_{j}^{-}}f\left( x\right) .$

Observação: Toda função cont $\'{\i }$ nua é seccionalmente cont $\'{\i }$ nua.

Example 91. $f\left( x\right) =\dfrac {1}{x},$ $x\neq 0,$ não é seccionalmente cont $\'{\i }$ nua, pois sua descontinuidade em $x=0$ é de segunda espécie.

Example 92. A função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ definida por

$f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{l}1,\text { se }x\geq 1\\ \dfrac {1}{n},\text { se }\dfrac {1}{ n+1}\leq x\leq \dfrac {1}{n},\text { }n=1,2,...\\ 0,\text { se }x\leq 0 \end{array} \right.$

não é seccionalmente cont $\'{\i }$ nua, apesar de todas as descontinuidades serem de primeira espécie; acontece, porém, que, no intervalo $\left( 0,1\right)$ , há um número infinito de tais descontinuidades.

Examples de funções seccionalmente cont $\'{\i }$ nuas:

Example 93. A função sinal de $x$ , definida por

$signx=\left\{ \begin{array}[c]{c}+1,\text { se }x>0\\ 0,\text { se }x=0\\ -1,\text { se }x<0 \end{array} \right.$

Example 94. A função

$f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}x+1,\text { se }x\geq 0;\\ 0,\text { se }x<0. \end{array} \right.$

Example 95. A função

$f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}1,\text { se }0\leq x<\pi \\ 0,\text { se }-\pi \leq x<0\\ \text {e peri\'{o}dica de per\'{\i }odo }2\pi \end{array} \right.$

Definition 96. Uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ será seccionalmente diferenciável se ela for seccionalmente cont $\'{\i }$ nua e se a função derivada $f^{\prime }$ for também seccionalmente cont $\'{\i }$ nua.

Observe que a derivada $f^{\prime }$ não está definida em todos os pontos: com certeza $f^{\prime }\left( x\right)$ não existe nos pontos $x$ onde $f$ é descont $\'{\i }$ nua; e mais, $f^{\prime }\left( x\right)$ pode não existir, mesmo em alguns pontos onde $f$ é cont $\'{\i }$ nua.

Example 97. As funções dos exemplos (93) - () anteriores saõ seccionalmente diferenciáveis. Vamos pegar o exemplo (94):

$f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}x+1,\text { se }x\geq 0;\\ 0,\text { se }x<0. \end{array} \right. \Rightarrow f^{\prime }\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}1,\text { se }x\geq 0;\\ 0,\text { se }x<0. \end{array} \right.$

Example 98. A seguinte função é cont $\'{\i }$ nua, mas não seccionalmente diferenciável:

$f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}\sqrt{1-x^{2}},\text { se }\left\vert x\right\vert \leq 1\\ \text {e peri\'{o}dica de per\'{\i }odo 2}\end{array} \right.$

pois nos pontos onde $f^{\prime }$ é descont $\'{\i }$ nua, a descontinuidade é de segunda espécie, pois pela regra da cadeia, temos: $f=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow f^{\prime }=\left( -2x\right) \dfrac {1}{2}\left( 1-x^{2}\right) ^{-\tfrac {1}{2}}$ , da $\'{\i }$ , $f^{\prime }\left( x\right) =-\dfrac {x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , que é descont $\'{\i }$ nua em $\left\vert x\right\vert =1$ com ela sendo de segunda espécie.

Agora enunciamos um resultado que fornece condições suficientes para a convergência da série de Fourier de uma função $f.$

Theorem 99.

(Fourier) Seja $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ . Então a série de Fourier da função $f,$ dada em (4.14), converge, em cada ponto $x$ , para:

$\begin{equation} \dfrac {1}{2}\left[ f\left( x+0\right) +f\left( x-0\right) \right] =\dfrac {1}{2}a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \dfrac {n\pi x}{L}+b_{n}\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\right) \end{equation}$

(4.15)

Exerc $\'{\i }$ cio 1 Calcular a série de Fourier da função $f$ definida no exemplo 3 acima e traçar o gráfico da função definida por essa série. Compare esse gráfico com o gráfico da função.

Resolução:

Cálculo dos coeficientes: $a_{0}=\frac{1}{L} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) dx\Rightarrow$ onde o per $\'{\i }$ odo da função é $2L,$ da $\'{\i }$ ,

$a_{0}=\dfrac {1}{\pi }{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }} f\left( x\right) dx=\dfrac {1}{\pi }\left( {\displaystyle \int _{-\pi }^{0}} 0dx+ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }} 1dx\right) =\dfrac {1}{\pi }\left( \pi -0\right) =1$

para $n\neq 0,$ temos:

$a_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx,n\geq 0;\ \ \ b_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx,$

da $\'{\i }$ ,

$a_{n}=\dfrac {1}{\pi } {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }} f\left( x\right) \cos \left( nx\right) dx=\dfrac {1}{\pi }\left( {\displaystyle \int _{-\pi }^{0}} 0\cos \left( nx\right) dx+ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }} 1\cos \left( nx\right) dx\right) ,$

resolvendo a integral,temos:

$\int _{0}^{\pi }} \cos \left( nx\right) dx=\dfrac {1}{\pi }{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \cos u\dfrac {du}{n$

$=\dfrac {1}{\pi }\left[ \dfrac {\operatorname{sen}u}{n}\right] _{0}^{n\pi }=\dfrac {1}{n\pi }\left[ \operatorname{sen}\left( n\pi \right) -\operatorname{sen}\left( 0\right) \right] =0$

$b_{n}=\dfrac {1}{\pi }{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }} f\left( x\right) \operatorname{sen}\left( nx\right) dx=\dfrac {1}{\pi }\left( {\displaystyle \int _{-\pi }^{0}} 0\operatorname{sen}\left( nx\right) dx+ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }} 1\operatorname{sen}\left( nx\right) dx\right) ,$

de modo análogo para $b_{n},$ temos

$\int _{0}^{\pi }} 1\operatorname{sen}\left( nx\right) dx=\dfrac {1}{\pi }{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \operatorname{sen}u\dfrac {du}{n}=\dfrac {1}{\pi }\left[ -\dfrac {\cos u}{n}\right] _{0}^{n\pi$

$=-\dfrac {1}{n\pi }\left[ \cos \left( n\pi \right) -\cos \left( 0\right) \right] =\frac{1}{n\pi }\left[ 1-\cos \left( n\pi \right) \right] ,$

ou, para $k=1,2,...:$

$b_{2k}=\frac{1}{2k\pi }\left[ 1-\cos \left( 2k\pi \right) \right] =0$

$\begin{equation} b_{2k-1}=\frac{1}{\left( 2k-1\right) \pi }\left\{ 1-\cos \left[ \left( 2k-1\right) \right] \pi \right\} =\frac{2}{\left( 2k-1\right) \pi } \label{b2k} \end{equation}$

(4.16)

A série de Fourier de $f$ será:

$f\left( x\right) \sim \frac{1}{2}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{2}{\left( 2k-1\right) \pi }\operatorname{sen}\left[ \left( 2k-1\right) x\right]$

Pelo Teorema de Fourier, o gráfico da função definida pela série é dado pela figura 4.3 abaixo.

$\includegraphics[ height=2.3237in, width=5.0981in ]{Figura26.eps}$

Figure 4.3: Gráfico da série de Fourier da função do exemplo 95

Exerc $\'{\i }$ cio 2 Use os resultados do Exerc $\'{\i }$ cio 1 para obter uma expressão em série para $\dfrac {\pi }{4}.$

Resolução: No ponto $x=\dfrac {\pi }{2}$ , a série de Fourier é igual a 1, em virtude do Teorema de Fourier:

$\dfrac {1}{2}\left[ f\left( x+0\right) +f\left( x-0\right) \right] =\dfrac {1}{2}\left[ 1+1\right] =1,$

logo,

$1=\dfrac {1}{2}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {2}{\left( 2k-1\right) \pi }\operatorname{sen}\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac {\pi }{2}\right]$

$\frac{1}{2}=\dfrac {2}{\pi }\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) }\operatorname{sen}\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac {\pi }{2}\right]$

$\dfrac {\pi }{4}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) }\operatorname{sen}\left[ \left( 2k-1\right) \dfrac {\pi }{2}\right] ,$

ou, finalmente,

$\dfrac {\pi }{4}=1-\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{5}-\dfrac {1}{7}+\dfrac {1}{9}-...=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{k-1}}{\left( 2k-1\right) },$

que é conhecida como uma série de alternada que converge pelo teste de Leibniz.