4.3 Coeficientes de Fourier

Se uma função $f\left( x\right)$ for expressa com:

$\begin{equation} f\left( x\right) =\dfrac {1}{2}a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos \dfrac {n\pi x}{L}+b_{n}\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\right) \label{fourier} \end{equation}$

(4.4)

é de se esperar que os coeficientes $a_{n}$ e $b_{n}$ estejam intimamente ligados à função $f.$

Vamos supor que a igualdade acima se verifique, e que a série em (4.4) convirja uniformemente.

Como consequência da Proposição 1, $f$ deve ser cont $\'{\i }$ nua (e portanto, pode ser integrada termo a termo), e deve ser periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ (pois o per $\'{\i }$ odo fundamental de $\cos \dfrac {\pi x}{L}$ é $2L$ , e $2L$ é per $\'{\i }$ odo para as demais funções seno e co-seno que aparecem na série). Assim, usando a Proposição 2, podemos integrar ambos os lados de (4.4) para obter:

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) dx=\dfrac {1}{2}a_{0} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} dx+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx+b_{n}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx\right) \label{coeffourier} \end{equation}$

(4.5)

por outro lado,

$\begin{equation*} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx=0 \end{equation*}$

pois,

$\begin{equation*} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx=\dfrac {L}{n\pi }{\displaystyle \int _{-n\pi }^{n\pi }}\operatorname{sen}udu=-\dfrac {L}{n\pi }\left( \cos u\right) ]_{-n\pi }^{n\pi }=0 \end{equation*}$

de modo análogo segue que

$\begin{equation*} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx=0 \end{equation*}$

segue da igualdade (4.5) e do exposto acima que

$\begin{equation*} {\displaystyle \int _{-L}^{L}}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}a_{0} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} dx \end{equation*}$

segue que

$\begin{equation} a_{0}=\frac{1}{L} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) dx \label{coef1} \end{equation}$

(4.6)

Para calcularmos os demais coeficientes usamos as seguintes relações:

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=0, \mbox{se} \, n,m\geq 1 \label{rel1} \end{equation}$

(4.7)

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx=\left\{ \begin{array}[c]{l}L,\text { se }n=m\geq 1\\ 0,\text { se }n\neq m,n,m\geq 1 \end{array} \right.\label{rel2} \end{equation}$

(4.8)

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=\left\{ \begin{array}[c]{l}L,\text { se }n=m\geq 1\\ 0,\text { se }n\neq m,n,m\geq 1 \end{array} \right.\label{rel3} \end{equation}$

(4.9)

por questões de esclarecimento vamos provar uma dessas relações, para $n=m\geq 1$ temos:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos ^{2}\dfrac {n\pi x}{L}dx=\dfrac {L}{n\pi }{\displaystyle \int _{-n\pi }^{n\pi }\cos ^{2}udu}=\dfrac {L}{2n\pi } {\displaystyle \int _{-n\pi }^{n\pi }} \left( \cos 2u+1\right) du$

$=\dfrac {L}{2n\pi }\left[ \left( \frac{1}{2}\operatorname{sen}2u\right) +\left( u\right) \right]_{-n\pi }^{n\pi } =\dfrac {L}{2n\pi }\left[ n\pi -\left( -n\pi \right) \right] =\dfrac {L}{2n\pi }\left[ 2n\pi \right] =L$

Analogamente mostram-se as outras relações.

Agora, multiplicando (4.4) por $\cos \dfrac {m\pi x}{L},$ com $m\geq 1$ fixo, e integrando de $-L$ a $L$ , obtemos:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+$

$+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{n} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx\right)$

Do somatório acima obtemos

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx$

$+(a_{1}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{1}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+...$

$+a_{m} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {m\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}\cos \dfrac {m\pi x}{L}dx+...)$

Usando as relações (4.7), (4.8) e (4.9) expostas acima concluímos que:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx=0+\left( 0+...+a_{m}L+b_{m}0+...+0+...\right)$

o que nos dá

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {m\pi x}{L}dx=a_{m}L \label{coef2} \end{equation}$

(4.10)

De modo análogo, multiplicando (4.4) por $\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L},$ com $m\geq 1$ fixo, e integrando de $-L$ a $L$ , obtemos:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+$

$+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left( a_{n}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {n\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{n}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx\right)$

daí

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=\frac{1}{2}a_{0}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx$

$+(a_{1} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{1} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+...$

$+a_{m} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \cos \dfrac {m\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+b_{m} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}\operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx+...)$

Novamente das relações (4.7), (4.8) e (4.9) temos:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=0+\left( 0+...+a_{m}0+b_{m}L+...+0+...\right)$

segue que

$\begin{equation} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {m\pi x}{L}dx=b_{m}L \label{coef3} \end{equation}$

(4.11)

Finalmente, de (4.6), (4.10) e (4.11) obtemos:

$\begin{equation} a_{n}=\frac{1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx,n\geq 0 \label{coeffou1} \end{equation}$

(4.12)

$\begin{equation} b_{n}=\frac{1}{L} {\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx,n\geq 1\label{coeffou2} \end{equation}$

(4.13)

Definition 89. Seja $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ uma função periódica de per $\'{\i }$ odo $2L,$ integrável e absolutamente integrável em cada intervalo limitado; em particular, ${\displaystyle \int _{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert dx<\infty .$ Os números $a_{n}$ , para $n\geq 0$ , e $b_{n}$ , para $n\geq 1$ , dados em (4.12) e (4.13) são definidos como os coeficientes de Fourier da função $f.$ (A exigência da integrabilidade e integrabilidade absoluta de $f$ é necessária para que as expressões (4.12) e (4.13) façam sentido.)

Obs.:

	$\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert$	$\displaystyle =\left\vert \frac{1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx\right\vert$
	$\displaystyle$	$\displaystyle \leq \frac{1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert \left\vert \cos \dfrac {n\pi x}{L}\right\vert dx\leq \frac{1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} \left\vert f\left( x\right) \right\vert dx,$

o que dá sentido à integral.