4.5 Séries de Fourier de funções pares e $\'{\i }$ mpares

Definition 100. Uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ é par se $f\left( x\right) =f\left( -x\right)$ , para todo $x\in \mathbb {R}.$ (Isso significa que o gráfico da função $f$ é simétrico com relação ao eixo dos $y$ ).

Definition 101. Uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ é $\'{\i }$ mpar se $f\left( x\right) =-f\left( -x\right)$ , para todo $x\in \mathbb {R}.$ (Isso significa que o gráfico da função $f$ é simétrico com relação à origem).

Example 102. funções pares: $f\left( x\right) =\cos \dfrac {n\pi x}{L};\ \ f\left( x\right) =x^{2n},$ para $n=1,2,...;\$ outro: $f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert .$

Example 103. funções $\'{\i }$ mpares: $f\left( x\right) =\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L};\ f\left( x\right) =x^{2n-1};$ para $n=1,2,...;\$ outro: $f\left( x\right) =x.$

Proposition 104.

A soma de duas funções pares é uma função par
A soma de duas funções $\'{\i }$ mpares é uma função $\'{\i }$ mpar.
O produto de duas funções pares é uma função par.
O produto de duas funções $\'{\i }$ mpares é uma função par.
O produto de uma função par por uma função $\'{\i }$ mpar é uma função $\'{\i }$ mpar.

Demonstração:

$1$ Sejam $f,g:\mathbb {R\rightarrow R}$ funções pares

$\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =f\left( -x\right) +g\left( -x\right) =\left( f+g\right) \left( -x\right)$

$2$ Sejam $f,g:\mathbb {R\rightarrow R}$ funções $\'{\i }$ mpares

$\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right) =-f\left( -x\right) +\left[ -g\left( -x\right) \right] =-\left[ f\left( -x\right) +g\left( -x\right) \right] =-\left( f+g\right) \left( -x\right)$

$3$ Sejam $f,g:\mathbb {R\rightarrow R}$ funções pares:

$\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =f\left( -x\right) g\left( -x\right) =\left( fg\right) \left( -x\right)$

$4$ Sejam $f,g:\mathbb {R\rightarrow R}$ funções $\'{\i }$ mpares:

$\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =\left[ -f\left( -x\right) \right] \left[ -g\left( -x\right) \right] =\left[ f\left( -x\right) g\left( -x\right) \right] =\left( fg\right) \left( -x\right)$

$5$ Sejam $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ uma função par e $g:\mathbb {R\rightarrow R}$ uma função $\'{\i }$ mpar:

$\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) g\left( x\right) =f\left( -x\right) \left[ -g\left( -x\right) \right] =-\left[ f\left( -x\right) g\left( -x\right) \right] =-\left( fg\right) \left( -x\right)$

Proposition 105. $\left( i\right)$ Seja $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ uma função par que é integrável em qualquer intervalo limitado. Então:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f=2{\displaystyle \int _{0}^{L}} f$

$\left( ii\right)$ Se $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ é uma função $\'{\i }$ mpar e integrável em qualquer intervalo limitado. Então:

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f=0$

Demonstração:Seja $f$ uma função par e considere a integral ${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f={\displaystyle \int _{-L}^{0}} f+{\displaystyle \int _{0}^{L}} f,$ temos que para $y=-x$

${\displaystyle \int _{-L}^{0}} f\left( x\right) dx=-{\displaystyle \int _{L}^{0}} f\left( -y\right) dy=+{\displaystyle \int _{0}^{L}} f\left( -y\right) dy={\displaystyle \int _{0}^{L}} f\left( y\right) dy.$

isso mostra que se $f$ é par então

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f=2{\displaystyle \int _{0}^{L}} f$

Analogamente, seja $f$ uma função $\'{\i }$ mpar temos que ${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f={\displaystyle \int _{-L}^{0}} f+{\displaystyle \int _{0}^{L}} f,$ e para $y=-x$ teremos

${\displaystyle \int _{-L}^{0}} f\left( x\right) dx=-{\displaystyle \int _{L}^{0}} f\left( -y\right) dy=+{\displaystyle \int _{0}^{L}} f\left( -y\right) dy=-{\displaystyle \int _{0}^{L}} f\left( y\right) dy.$

que mostra

${\displaystyle \int _{-L}^{L}} f=0$

Da proposição anterior podemos estabelecer os seguintes resultados sobre as séries de fourier de funções pares e $\'{\i }$ mpares.

$\left( a\right)$ Se $f$ for uma função par, periódica de per $\'{\i }$ odo $2L,$ integrável e absolutamente integrável, então:

$a_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx,$ $n\geq 0$ ,

pois o produto de duas funções pares é uma função par. E,

$b_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx=0,$ $n\geq 1$ ,

pois o produto de uma função par e uma função $\'{\i }$ mpar é uma função $\'{\i }$ mpar.

Portanto, a série de Fourier de uma função par é uma série de co-senos.

$\left( b\right)$ Se $f$ for uma função $\'{\i }$ mpar, periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ , integrável e absolutamente integrável, então:

$a_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx=0$ ,

pois o produto de uma função par e uma função $\'{\i }$ mpar é uma função $\'{\i }$ mpar. E,

$b_{n}=\dfrac {1}{L}{\displaystyle \int _{-L}^{L}} f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx=\dfrac {2}{L}\int _{0}^{L}f\left( x\right) \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx,$

pois o produto de duas funções $\'{\i }$ mpares é uma função par.

Assim, a série de Fourier de uma função $\'{\i }$ mpar é uma série de senos.

4.5 Séries de Fourier de funções pares e mpares

4.5 Séries de Fourier de funções pares e $\'{\i }$ mpares