4.2 Funções Periódicas

Definition 85. Uma função $f:\mathbb {R\rightarrow R}$ é periódica de per $\'{\i }$ odo $T$ se $f\left( x+T\right) =f\left( x\right)$ para todo $x$ .

Example 86.

A função $\operatorname{sen}x$ é periódica de per $\'{\i }$ odo $2\pi$ . Observe a figura 4.1.

$\includegraphics[ height=1.3759in, width=2.1465in ]{Figura16.eps}$
Figure 4.1: $y=\operatorname{sen}x$

Example 87.

A função $f\left( x\right) =x-\left[ x\right] ,$ onde $\left[ x\right]$ representa o maior inteiro, menor do que ou igual a $x,$ é periódica de per $\'{\i }$ odo $1$ . Veja o gráfico de $f$ dado pela figura 4.2.

$\includegraphics[ height=1.7772in, width=4.0188in ]{Figura13.eps}$
Figure 4.2: $f(x)=x-[x]$

Observação:

Se $T$ é um per $\'{\i }$ odo para a função $f$ , então $2T$ também é um per $\'{\i }$ odo, pois:

$\begin{equation*} f\left( x+2T\right) =f\left( x+T\right) =f\left( x\right) \end{equation*}$

E em geral, $kT$ é um per $\'{\i }$ odo, onde $k$ é um inteiro. Para $k=0$ , temos que $0$ é um per $\'{\i }$ odo da $f.$ Mas isso não tem interesse pois $0$ é per $\'{\i }$ odo de qualquer função. O menor per $\'{\i }$ odo positivo é chamado o per $\'{\i }$ odo fundamental.

Example 88. O per $\'{\i }$ odo fundamental $T$ da função $\operatorname{sen}\left( \dfrac {n\pi x}{L}\right)$ pode ser determinado do seguinte modo. Devemos ter:

$\operatorname{sen}\dfrac {n\pi \left( x+T\right) }{L}=\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L},\forall x\in \mathbb {R}.$

Usando a seguinte propriedade trigonométrica, $\operatorname{sen}\left( a+b\right) =\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b+\operatorname{sen}b\operatorname{sen}a$ , devemos ter:

$\begin{equation} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}\cos \dfrac {n\pi T}{L}+\operatorname{sen}\dfrac {n\pi T}{L}\cos \dfrac {n\pi x}{L}=\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L} \label{equ1} \end{equation}$ (4.1)

Fazendo $x=\dfrac {L}{2n},$ na igualdade acima obtemos:

$\begin{equation*} \operatorname{sen}\dfrac {\pi }{2}\cos \dfrac {n\pi T}{L}=\operatorname{sen}\dfrac {\pi }{2} \end{equation*}$

O que implica:

$\begin{equation} \cos \dfrac {n\pi T}{L}=1 \label{equ2} \end{equation}$ (4.2)

, e da $\'{\i }$ , usando a identidade: $\operatorname{sen}^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ obtemos:

$\begin{equation} \operatorname{sen}\dfrac {n\pi T}{L}=0\label{equ3} \end{equation}$ (4.3)

Como estamos interessados no menor valor positivo de $T$ que satisfaça (4.2) e (4.3), simultaneamente, então $\dfrac {n\pi T}{L}=2\pi ,$ isto é, o per $\'{\i }$ odo fundamental de $\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}$ é: $T=\dfrac {2L}{n}.$ (De maneira análoga obtemos que o per $\'{\i }$ odo fundamental de $\cos \dfrac {n\pi x}{L}$ é também $\dfrac {2L}{n}.$ )