3.2 Séries de Taylor

Quando uma função é representada por uma série de potências então podemos ter

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots + a_ n x^ n+\cdots$

Levantamos então as seguintes questões: que relação há entre $f(x)$ e os coeficientes da série $a_ n$ ? Em que situação essa série representa realmente a função $f(x)$ ? Em relação à primeira questão temos que se $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ e se $f(x) \in C^{\infty }$ então $f(0)=a_0$ e, como $f’(x)=\sum _{n=1}^{\infty } n a_ n x^{n-1}$ então $f’(0)=a_1$ , como $f”(x)=\sum _{n=2}^{\infty } n(n-1)a_ n x^{n-2}$ então $f”(0)=2! a_2$ , e assim por diante, seguindo esse mesmo raciocínio obtemos $f^{(n)}(0)=n! a_ n$ então podemos concluir que

$f(x)=f(0)+f’(0)x+\dfrac {f”(0)}{2!}x^2 +\cdots +\dfrac {f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+\cdots$

essa série é conhecida como série de Maclaurin da função $f$ . A série de Taylor de $f$ em torno de um ponto $x_0$ é

$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\dfrac {f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots +\dfrac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^ n+\cdots$

onde os $a_ n=\dfrac {f^{(n)}(x_0)}{n!}$ , para todo $n\geq 0$ , aqui usa-se a convenção de que $f^{(0)}(x_0)=f(x_0)$ . A série de Maclaurin de uma função $f$ nada mais é que a sua série de Taylor em torno do ponto $x=0.$

Example 77. Achar a série de Maclaurin da função $f(x)=\operatorname{sen}x$ .

Solução: Temos que

$\begin{cases} f(x)=\operatorname{sen}x \Rightarrow f(0)=\operatorname{sen}0=0\\ f’(x)=\cos x \Rightarrow f’(0)=\cos 0=1\\ f”(x)=-\operatorname{sen}x \Rightarrow f”(0)=-\operatorname{sen}0=0\\ f”’(x)=-\cos x \Rightarrow f”’(0)=-\cos 0=-1\\ f^{(iv)}(x)=\operatorname{sen}x \Rightarrow f^{(iv)}(0)=\operatorname{sen}0=0 \end{cases}$

só os termos ímpares são diferentes de zero, analisemos esses termos

$\begin{cases} f^{(1)}(0)=f^{(2.0+1)}(0)=(-1)^0=1\\ f^{(3)}(0)=f^{(2.1+1)}(0)=(-1)^1=-1\\ f^{(5)}(0)=f^{(2.2+1)}(0)=(-1)^2=1\\ \vdots \\ f^{(2.k+1)}(0)=(-1)^ k \end{cases}$

assim

$\operatorname{sen}x=x-\dfrac {x^3}{3!}+\dfrac {x^5}{5!}-\cdots +\dfrac {(-1)^ n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$

Essa é a série de Maclaurin da função $f(x)=\operatorname{sen}x$ . Com a série de Maclaurin da função $f(x)=\operatorname{sen}x$ podemos encontrar a série de Maclaurin da função $f(x)=\cos x$ , por derivação termo a termo,

$\cos x=\dfrac {d}{dx}(\operatorname{sen}x)=1-\dfrac {x^2}{2!}+\dfrac {x^4}{4!}-\cdots +\dfrac {(-1)^ n x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$

Example 78. Encontre a série de Taylor da função $\ln x$ em torno de $x=1$ .

Solução: Temos

$\begin{cases} f(x)=\ln x \Rightarrow f(1)=\ln 1=0\\ f’(x)=\dfrac {1}{x} \Rightarrow f’(1)=1\\ f”(x)=\dfrac {-1}{x^2} \Rightarrow f”(1)=-1\\ f”’(x)=\dfrac {2}{x^3} \Rightarrow f”’(1)=2\\ f^{(iv)}(x)=-\dfrac {3!}{x^4} \Rightarrow f^{(iv)}(1)=-3!\\ \vdots \\ f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac {(n-1)!}{x^ n} \Rightarrow f^{(n)}(1)=(-1)^{n-1} (n-1)! \end{cases}$

logo,

$\ln x=(x-1)-\dfrac {(x-1)^2}{2}+\dfrac {(x-1)^3}{3}-\dfrac {(x-1)^4}{4}+\cdots +\dfrac {(-1)^ n(x-1)^ n}{n}+\cdots$

com $|x-1|<1.$