3.2.2 Série Binomial

Binômio de Newton

$(x+y)^ k=x^ k +kx^{k-1}y+\dfrac {k(k-1)}{2!} x^{k-2}y^2+\cdots +y^ k$

ou simbolicamente,

$(x+y)^ k=\sum _{j=0}^ k {k \choose j} x^ j y^{k-j};$

onde

${k \choose j} =\dfrac {k!}{j!(k-j)!}$

fazendo nesta fórmula $y=1$ , obtemos

$(1+x)^ k=1+kx+\dfrac {k(k-1)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac {k(k-1)\cdots (k-j+1)}{j!}x^ j+\cdots +x^ k$

Motivado por essa fórmula, procuramos um desenvolvimento em série de potências para a função $f(x)=(1+x)^{\alpha }$ , onde $\alpha$ é um número real qualquer.A série binomial é definida como

$1+\alpha x+\dfrac {\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^ n+\cdots$

o n-ésimo termo dessa série é

$a_ n=\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^ n$

logo,

$\lim _{n\to \infty } \left| \dfrac {a_{n+1}}{a_ n}\right|=\lim _{n\to \infty } |x| \dfrac {|\alpha -n|}{n+1}=|x|$

portanto, a série binomial converge absolutamente quando $|x|<1$ e diverge se $|x|>1$ . Se tal série converge para uma função $g$ então devemos ter que