3.1 Séries de Potências

Uma série de potências de $x$ é uma série do tipo

$\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n=a_0 + a_1 x+a_2 x^2+\cdots +a_ n x^ n+\cdots$

Example 68. A série

$\sum _{n=0}^{\infty } x^ n=1+x+x^2+\cdots +x^ n+\cdots$

é uma série de potências de $x$ . Observe que ela é uma série geométrica de razão $r=x$ . Como a série geométrica só converge se $|r|<1$ então a série $\sum _{n=0}^{\infty } x^ n$ só converge se $|x|<1.$ Neste caso, sua soma é $S=\dfrac {1}{1-x}.$ Podemos então afirmar que

$\dfrac {1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^ n+\cdots , \, \, \, |x|<1.$

Dada uma série de potências de $x$ , $\sum a_ n x^ n$ , usando o teste da razão temos que

$\lim _{n\to \infty } \left|\dfrac {a_{n+1}x^{n+1}}{a_ n x^ n}\right|=|x| \lim _{n\to \infty } \left|\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}\right|=|x|l<1$

logo, $|x|<\dfrac {1}{l}=R$ , $R$ é o raio de convergência da série $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ .

Theorem 69. Seja $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ uma série de potências de $x$ . Se $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ converge para um certo $c\neq 0$ e diverge para um certo $d\neq 0$ com $|c|<|d|$ . Então $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ converge absolutamente para todo $x$ tal que $|x|<|c|$ e diverge para todo $x$ tal que $|x|>|d|$ .

Seja a série $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ tal que ela converge para $x=c$ e diverge para $x=d$ com $|c|<|d|$ . Considere $x$ tal que $|x|<|c|$ temos que

$\sum _{n=0}^{\infty } |a_ n ||x|^ n=\sum _{n=0}^{\infty } |a_ n c^ n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^ n$

como $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n c^ n$ converge então devemos ter que $lim_{n\to \infty }|a_ n c^ n|=0$ , podemos então tomar $n_0$ tal que $|a_ n c^ n|<1$ para todo $n>n_0$ desse modo,

$|a_ n||x|^ n= |a_ n c^ n| \left(\frac{|x|}{|c|}\right)^ n<\left(\frac{|x|}{|c|}\right)^ n,\, \, \, \forall n>n_0$

como $|x|<|c|$ então $|\dfrac {x}{c}|<1$ e a série $\sum _{n=n_0}^{\infty } \left|\frac{x}{c}\right|^ n$ é uma série geométrica convergente. Desse modo, a série $\sum _{n=n_0}^{\infty } |a_ n ||x|^ n$ converge, o que implica que a série $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ converge absolutamente para todo $|x|<|c|$ . Agora suponha que $x$ seja tal que $|x|>|d|$ se, por absurdo, supomos que exista algum $x_1$ com $|x_1|>|d|$ e $\sum a_ n x_1^ n$ convirja, então pelo que acabamos de mostrar essa série deve convergir para todo $x$ tal que $|x|<|x_1|$ assim, como, $|d|<|x_1|$ então $\sum a_ n d^ n$ converge, o que é um absurdo. Então para todo $x$ tal que $|x|>|d|$ a série $\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n$ diverge.

Theorem 70. Seja $\sum a_ n x^ n$ uma série de potências de $x$ . Então somente uma das alternativas abaixo deve ocorrer.

A série converge somente para $x=0$ (R= $0$ )
A série converge para todo $x$ real. (R= $\infty$ )
Existe $R>0$ tal que a série $\sum a_ n x^ n$ converge para todo $x$ tal que $|x|<R$ e diverge para todo $x$ tal que $|x|>R$ .

Se não ocorre a primeira nem a segunda situação então existe um $x_1\neq 0$ onde $\sum a_ n x_1^ n$ converge e um $x_2\neq 0$ com $|x_1|<|x_2|$ onde $\sum a_ n x_2^ n$ diverge. Seja

$S=\{ x\in \mathbb {R}| \sum a_ n x^ n \quad \mbox{converge}\}$

é claro que $|x_2|$ é uma cota superior de $S$ , tomemos então $R=\sup S.$ Provemos que se $|x|<R$ então $x\in S$ . De fato, se $|x|<R$ então $x$ não pode ser cota superior de $S$ já que $R$ é a menor das cotas superiores, então deve ter um elemento $x_0$ de $S$ tal que $|x|\leq |x_0|$ então pelo teorema anterior $x\in S$ . Também se $x$ não pertencesse a $S$ então $\sum a_ n x^ n$ divergiria e $x$ seria uma cota superior de $S$ o que contradiz o fato de $R$ ser a menor delas, já que $|x|<R$ . Por outro lado, se $|x|>R$ então $\sum a_ n x^ n$ deve divergir, pois se $\sum a_ n x^ n$ convergisse $R$ não seria uma cota superior de $S$ o que é absurdo já que $R=\sup S$ .

$R$ é o raio de convergência da série $\sum a_ n x^ n$ . Já o intervalo de convergência da série é um dos seguintes intervalos:

$(-R, R),\, \, (-R,R],\, \, [-R,R), \, \, [-R,R]$

fora desses intervalos a série sempre diverge. E o intervalo $(-R,R)$ é sempre o intervalo de convergência absoluta da série.

Theorem 71. Seja $\sum a_ n x^ n$ uma série de potências de $x$ . Se essa série tem raio de convergência $R$ . Então ela pode ser derivada termo a termo ou integrada termo a termo, isto é,

$\dfrac {d}{dx}\left(\sum _{n=0}^{\infty } a_ n x^ n\right)=\dfrac {d}{dx}\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots +a_ n x^ n+\cdots \right)$

$=a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2 + \cdots +n a_ n x^{n-1}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty } n a_ n x^{n-1}$

e

$\int _0^ x \left(\sum _{n=0}^{\infty } a_ n t^ n\right) dt=\sum _{n=0}^{\infty } \int _0^ x t^ n dt=\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {a_ n x^{n+1}}{n+1}$

essas novas séries obtidas têm o mesmo raio de convergência da série original.

Example 72. Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $f(x)=\dfrac {1}{(1+x)^2}.$

Solução: Observe que

$\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {1}{1+x}\right)=-\dfrac {1}{(1+x)^2}$

como

$\dfrac {1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1)^ n x^ n+\cdots$

usando o teorema 71 obtemos

$-\dfrac {1}{(1+x)^2}=\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {1}{1+x}\right)=-1+2x-3x^2+\cdots +(-1)^ n n x^{n-1}+\cdots \, \, \, |x|<1.$

Example 73. Obtenha uma série de potências de $x$ que represente a função $\ln (1+x)$ .

Solução: Note que

$\ln (1+x)=\int _0^ x \dfrac {1}{1+t}dt$

como

$\dfrac {1}{1+t}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ n t^ n, \, \, \, |t|<1$

o que nos leva a

$\ln x=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ n\dfrac {x^{n+1}}{n+1},\, \, \, |x|<1$

O intervalo de convergência dessa série é $(-1,1]$ . Isso, porque quando escolhemos $x=-1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série numérica $-\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {1}{n+1}$ que é divergente, por outro lado, se fazemos $x=1$ na série de $\ln (1+x)$ obtemos a série $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {(-1)^ n}{n+1}$ que converge pelo teste de Leibniz.

Example 74. A série $\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {x^ n}{n!}$ é absolutamente convergente para todo $x$ real. Que função essa série representa?

Solução:De fato,vemos que

$\lim _{n \to \infty } \left| \dfrac {x^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac {n!}{x^ n} \right|=\lim _{n \to \infty } \dfrac {|x|}{n+1}=0<1$

então pelo teste da razão essa série converge absolutamente para todo $x$ real. Suponha que a série acima represente uma função $f(x)$ , ou seja, $f(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {x^ n}{n!}.$ Derivando a função $f(x)$ obtemos

$f’(x)=\sum _{n=1}^{\infty } n \dfrac {x^{n-1}}{n!}$

$f’(x)=\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {x^{n-1}}{(n-1)!}$

ou ainda

$f’(x)=f(x)$

daí

$\dfrac {f’(x)}{f(x)}=1$

integrando a igualdade acima obtemos

$\ln f(x)=x+c_0$

$f(x)=Ce^ x,\, \, \, (C=e^ c_0 \, \, \, \mbox{é uma constante})$

como $f(0)=1$ obtemos $C=1$ e $f(x)=e^ x$ , portanto, $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {x^ n}{n!}=e^ x$ .

Uma série de potências de $x-x_0$ é uma série do tipo

$\sum _{n=0}^{\infty } a_ n (x-x_0)^ n=a_0+a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2+\cdots +a_ n (x-x_0)^ n+\cdots$

Todos os resultados que obtivemos para as séries de potências de $x$ são válidos para as séries de potências de $x-x_0$ com as devidas adaptações.

Example 75. Da série

$\dfrac {1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ n x^ n, \, \, |x|<1$

obtemos

$\dfrac {1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ n x^{2n}, \, \, |x|<1$

integrando termo a termo, de $0$ a $x$ para $|x|<1$ , temos

$\operatorname{arctg}x=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^ n \dfrac {x^{2n+1}}{2n+1}, \, \, \, |x|\leq 1$

Example 76. Considere a série $\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {(x-3)^{n+1}}{n}$ analisemos sobre o intervalo de convergência dessa série.

Solução: Usando o teste da razão

$\lim _{n\to \infty } \left|\dfrac {(x-3)^{n+2}}{n+1}\dfrac {n}{(x-3)^{n+1}}\right|=\lim _{n\to \infty } |x-3|\dfrac {n}{n+1}=|x-3|$

essa série converge absolutamente se $|x-3|<1$ , que equivale a $2<x<4$ e diverge fora desse intervalo. No caso em que $|x-3|=1$ que corresponde a $x=2$ e $x=4$ , quando substituimos $x=2$ nessa série obtemos $\sum \dfrac {(-1)^ n}{n}$ que converge e para $x=4$ obtemos a série $\sum \dfrac {1}{n}$ que diverge. Logo, o intervalo de convergência da série $\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {(x-3)^{n+1}}{n}$ é o intervalo $2\leq x<4.$