3.2.1 Polinômios de Taylor

O polinômio de Taylor de uma função $f(x)$ em torno de $x=a$ é

$P_{n,a}(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\dfrac {f”(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n=\sum _{k=0}^ n \dfrac {f^{(k)}(a)}{n!}(x-a)^ k$

O polinômio de Maclaurin de $f$ é:

$P_ n(x)=f(0)+f’(0)x+\dfrac {f”(0)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac {f^{(n)}(0)}{n!}x^ n=\sum _{k=0}^ n \dfrac {f^{(k)}(0)}{n!}x^ k$

que é o polinômio de Taylor de $f$ em torno do ponto $x=0.$ Por exemplo, o polinômio de Maclaurin de $f(x)=\exp x$ é

$P_ n(x)=1+x+\dfrac {x^2}{2!}+\cdots +\dfrac {x^ n}{n!}.$

Theorem 79 (Fórmula de Taylor com resto). Seja $f(x)$ uma função de classe $C^{\infty }$ num intervalo que contém $a$ . Dado qualquer $x$ nesse intervalo existe um número real $\xi$ entre $a$ e $x$ tal que

$f(x)=P_{n,a}(x)+R_ n (x)$

onde $R_ n(x)=\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a)^ n,$ e

$P_{n,a}(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\dfrac {f”(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n$

Além disso, a sequência $P_{n,a}(x)$ converge para $f(x)$ quando $n\to \infty$ se, e somente se, $\lim _{n\to \infty } R_ n (x)=0.$

Considere a função $G:[a,x]\to \mathbb {R}$ dada por

$G(t)=f(x)-[f(t)+f’(t)(x-t)+\dfrac {f”(t)}{2!}(x-t)^2+\cdots +\dfrac {f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^ n]-R_ n(x)\dfrac {(x-t)^{n+1}}{(x-a)^{n+1}}$

com $a$ e $x$ fixos, onde $R_ n(x)=f(x)-P_{n,a}(x).$ Observe que $G$ satisfaz as seguintes propriedades:

$G(a)=f(x)-P_{n,a}(x)-R_ n(x)=0$
$G(x)=0$
$G$ é contínua no intervalo fechado $[a,x]$ e derivável no intervalo aberto $(a,x)$ .

Logo, pelo teorema de Rolle existe um $\xi$ tal que $\xi$ está entre $a$ e $x$ tal que $G’(\xi )=0.$ Mas

$G’(t)=\dfrac {f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ n-(n+1)R_ n(x)\dfrac {(x-t)^{n}}{(x-a)^{n+1}}$

e, portanto, $G’(\xi )=0$ implica em $R_ n(x)=\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a)^ n.$

Note que a soma parcial de ordem $n$ da série $\sum _{k=0}^{\infty } \dfrac {f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^ k$ é $S_ n=P_{n,a}(x)$ . Logo,

$\lim _{n\to \infty } S_ n=\lim _{n\to \infty } P_{n,a}(x)=\lim _{n\to \infty }[f(x)-R_ n(x)]=f(x)$

Logo,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty } \dfrac {f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^ k.$

Example 80. Mostre que a série de potências $\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {x^ n}{n!}$ realmente representa a função $f(x)=e^ x$ para todo $x$ real.

Solução: Ja vimos que $e^ x=\sum _{n=0}^{\infty } \dfrac {x^ n}{n!}$ . Falta mostrar que esta série realmente representa a função exponencial $e^ x$ . Pela Fórmula de Taylor com resto, temos que

$e^ x=P_ n(x)+R_ n(x)$

onde

$P_ n(x)=1+x+\dfrac {x^2}{2!}+\cdots +\dfrac {x^ n}{n!}$

$R_ n(x)=\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x)^{n+1}=\dfrac {e^{\xi }x^{n+1}}{(n+1)!}$

onde $\xi$ está entre $0$ e $x$ . Como $\lim _{n\to \infty } \dfrac {|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0$ então

$\lim _{n \to \infty } \left| \dfrac {e^{\xi }x^{n+1}}{(n+1)!} \right|=0.$

Logo, realmente a série representa a função $e^ x.$

Example 81. Analise se a série da função $f(x)=\operatorname{sen}x$ realmente a representa.

Solução: Temos que

$f(0)=0, \, \, f’(0)=1, \, \, f”(0)=0, \, \, f”’(0)=-1, \cdots .$

Além disso,

$f^{(n+1)}(\xi )=\begin{cases} \pm \operatorname{sen}\xi , \, \, n \, \, \mbox{par}\\ \pm \cos \xi , \, \, n \, \, \mbox{ímpar} \end{cases}$

e o resto

$|R_ n(x)|=\left| \dfrac {f^{(n+1)} (\xi ) x^{n+1}}{(n+1)!}\right|\leq \dfrac {|x|^{n+1}}{(n+1)!}$

e, $\lim _{n\to \infty } |R_ n(x)|=0 \Rightarrow \lim _{n\to \infty } R_ n(x)=0$ e portanto, a série do $\operatorname{sen}x$ representa essa função.

Remark 82. Uma função $f(x)$ é analítica em $x=a$ quando ela puder ser representada por sua série de Taylor em algum intervalo aberto em torno de $a$ .

Um outro resultado que podemos deduzir da fórmula $f(x)=P_ n(x)+R_ n(x)$ é que se aproximarmos o valor de $f(x)$ por $P_ n(x)$ o erro que cometemos é da ordem de $|R_ n(x)|.$