2.3 Séries Alternadas

Séries do tipo $\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^ n a_ n$ ou $\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^(n-1) a_ n$ com os termos $a_ n\geq 0$ para todo $n$ é dita série alternada. Ou seja,

$\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^ n a_ n=-a_1+a_2+\cdots +(-1)^ n a_ n+ \cdots$

Theorem 53 (Critério de Leibniz). Seja $\{ a_ n\}$ uma sequência de termos positivos com as propriedades:

$\lim _{n\to \infty } a_ n=0.$
$a_1\geq a_2 \geq \cdots \geq a_ n \geq \cdots ,$ isto é, $(a_ n)$ monótona decrescente.

Então a série alternada $\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^ n a_ n$ converge.

Considere a série alternada $\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1}a_ n$ , temos que

$S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\cdots +(a_{2n}-a_{2n-1})$

ou seja, $(S_{2n})$ é monótona crescente, e reagrupando seus termos temos

$S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_3-a_4)-\cdots -(a_{2n-1}-a_{2n})\leq a_1$

logo, $(S_{2n})$ é limitada, segue que existe $S=\lim S_{2n}$ . Agora, como

$S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}$

passando o limite

$\lim _{n\to \infty } S_{2n+1}=\lim _{n\to \infty } S_{2n}+ \lim _{n\to \infty } a_{2n+1}=S+0$

logo, o $\lim _{n\to \infty } S_ n=S$ , portanto $\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1} a_ n$ converge.

Example 54. A série $\sum \frac{(-1)^ n}{n}$ converge, pois o $\lim _{n\to \infty } \frac{1}{n}=0$ e $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}, \, \, \, \forall n$ .

Example 55. A série $\sum \frac{(-1)^ n}{n5^ n}$ converge pelo teste de Leibniz.

Example 56. A série $\sum _{n=3}^{\infty } \frac{(-1)^ n n}{n^2-5}$ converge também pelo Teste de Leibniz.

Theorem 57. O erro que se comete ao se aproximar a soma da série $\sum (-1)^ n a_ n$ por $S_ n$ é de $a_{n+1}$ .

De fato,

$|S_ n -S|=|\sum _{k=n+1}^{\infty }(-1)^ k a_ k|=|(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}+\cdots |$

$=|(-1)^{n+1}[a_{n+1}-a_{n+2}+\cdots ]|$

$=a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-a_{n+4}+\cdots \leq a_{n+1}.$

Example 58. Para a série do exemplo 55 temos que

$S_4=-\dfrac {1}{5}+\dfrac {1}{50}-\dfrac {1}{325}+\dfrac {1}{2500}\approx -0,18$

o erro cometido para essa aproximação foi $a_5=\dfrac {1}{15625}\approx 64\times 10^{-6}$