2.2 Séries de termos positivos

Uma série $\sum a_ n$ é uma série de termos positivos se $a_ n\geq 0$ para todo $n\in \mathbb {N}$ . Note que quando $\sum a_ n$ é uma série de termos positivos então a sequência de somas parciais $(S_ n)$ dessa série é crescente, isto é,

$S_1\leq S_2 \leq \cdots \leq S_ n \leq \cdots$

logo, para que a série $\sum a_ n$ convirja bast mostrar que $(S_ n)$ é limitada.

Theorem 42 (Teste de comparação). Sejam $\sum a_ n$ e $\sum b_ n$ séries de termos positivos. Temos que:

se $a_ n\leq b_ n$ , para todo $n$ e se $\sum b_ n$ converge então $\sum a_ n$ converge.
se $a_ n\geq b_ n$ , para todo $n$ e se $\sum b_ n$ diverge então $\sum a_ n$ diverge.

Suponha que $\sum a_ n$ e $\sum b_ n$ sejam séries de termos positivos, com $\sum b_ n$ convergente e suponha que

$a_ n\leq b_ n, \, \, \, \forall n\in \mathbb {N}$

seja $S_ n=a_1+a_2+\cdots +a_ n$ e $T_ n=b_1+b_2+\cdots +b_ n$ então

$S_ n\leq T_ n$

como $\sum b_ n$ converge então $\lim T_ n$ existe. Logo $(T_ n)$ é limitada, desse modo, existe $M>0$ tal que $T_ n\leq M$ . Assim,

$S_ n\leq M, \, \, \, \, \forall n$

segue $(S_ n)$ é convergente, logo $\sum a_ n$ converge. Por outro lado, se $\sum b_ n$ diverge e $a_ n\geq b_ n, \, \, \, \forall n$ , então

$S_ n\geq T_ n, \, \, \, \forall n$

como $\sum b_ n$ diverge então $\lim T_ n=+\infty$ . Desse modo, $\lim S_ n \geq \lim T_ n \Rightarrow \lim S_ n =+\infty$ o que implica $\sum a_ n$ diverge.

Example 43. Mostre que a série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n+\sqrt{n}}$ diverge.

De fato, note que

$n+\sqrt{n}<2n \Rightarrow \dfrac {1}{n+\sqrt{n}}>\dfrac {1}{2n}$

como $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{2n}$ diverge então pelo teste de comparação segue que $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n+\sqrt{n}}$ também diverge.

Example 44. Analise sobre a convergência ou divergência da série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^3+n^2}$ .

Solução: Note que $n^3+n^2>n^2+n$ o que implica em

$\dfrac {1}{n^3+n^2}<\dfrac {1}{n^2+n}, \, \, \, \forall n$

como $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^2+n}$ converge então pelo teste de comparação a série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^3+n^2}$ converge.

Theorem 45 (Teste da Integral). Seja $f:[1,+\infty )\to \mathbb {R}$ contínua e suponhamos que $f$ é positiva e decrescente então:

a série $\sum _{n=1}^{\infty } f(n)$ é convergente se $\int _1^{\infty } f(x)dx$ for convergente,
a série $\sum _{n=1}^{\infty } f(n)$ é divergente se $\int _1^{\infty } f(x)dx$ for divergente.

Seja $f(x)$ função monótona decrescente e positiva. Temos que

$f(2)+f(3)+\cdots +f(n)\leq \int _1^ n f(x)dx\leq f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)$

$S_ n\leq f(1)+\int _1^ n f(x)dx$

ou ainda

$S_ n\leq f(1)+\int _1^ n f(x)dx\leq f(1)+\int _1^{\infty } f(x)dx$

logo $S_ n$ é limitada então $S_ n$ é convergente, portanto, $\sum f(n)$ converge. De modo análogo,como

$\int _1^ n f(x)dx \leq S_{n-1}$

se $\int _1^{\infty } f(x)dx=+\infty$ então $\lim S_{n-1}=+\infty$ , logo, $\sum f(n)$ diverge.

Example 46.

Seja $f(x)=\dfrac {1}{x^2}$ temos que $f(x)$ é positiva e decrescente já que $f’(x)=-\dfrac {2}{x^3}$ . A integral $\int _1^{\infty } \dfrac {1}{x^2}dx$ converge e, portanto, $\sum \dfrac {1}{n^2}$ converge.
$f(x)=\dfrac {1}{x\ln x}$ atende às condições expostas mas $\int _2^{\infty } \dfrac {1}{x \ln x}=\lim _{B\to \infty } [\ln (\ln x))]_2^ B=+\infty$ , logo $\sum \dfrac {1}{n \ln n}$ diverge.
Tomando $f(x)=xe^{-x^2}$ , $\int _1^{\infty } x e^{-x^2} dx=\dfrac {1}{2e}$ o que implica $\sum ne^{-n^2}$ converge.

A série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^ p}$ é uma p-série. Analisemos sobre a convergência ou divergência dessa série. Temos o seguinte resultado.

Theorem 47. A p-série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^ p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1.$

Calculemos a integral,

$\int _1^{\infty } \dfrac {1}{x^ p}dx=\lim _{B\to \infty } \int _1^ B \dfrac {1}{x^ p}dx=\lim _{B\to \infty } [B^{1-p} -1], \, \, p\neq 1$

se $p<1$ , temos que o $\lim _{B\to \infty } B^{1-p}=+\infty$ , se $p>1$ então $\lim _{B\to \infty } B^{1-p}=0.$

Theorem 48 (Forma limite do teste de comparação). Sejam $\sum a_ n$ e $\sum b_ n$ duas séries de termos positivos e seja $l=\lim \dfrac {a_ n}{b_ n}.$

se $l>0$ então ou ambas as séries $\sum a_ n$ e $\sum b_ n$ convergem ou ambas divergem
se $l=0$ e $\sum b_ n$ converge então $\sum a_ n$ converge.
se $l=+\infty$ e $\sum b_ n$ diverge então $\sum a_ n$ diverge.

Fixado $\epsilon =l/2$ podemos encontrar $n_0$ tal que

$\dfrac {l}{2}b_ n \leq a_ n \leq \dfrac {3}{2}lb_ n, \forall n\geq n_0$

assim, usando o teste de comparação provamos a primeira parte do teorema. Pois se $\sum b_ n$ converge então $\sum (\dfrac {3}{2}l) b_ n$ também converge e como $a_ n\leq (\dfrac {3}{2}l)b_ n$ para todo $n$ segue o resultado. Por outro lado, se $\sum b_ n$ diverge como $\dfrac {l}{2}b_ n \leq a_ n$ para todo $n$ , segue que $\sum a_ n$ diverge, já que $\sum (l/2)b_ n$ diverge.

Example 49. Considere a série $\sum \dfrac {6\sqrt{n}}{5n+4}.$ Ela converge ou diverge?

Solução: Para encontrar uma série que possamos comparar com a série dada olhamos os termos que dominam no numerador e denominador da série original, neste caso, escolhemos $\sum \dfrac {\sqrt{n}}{n}=\sum \dfrac {1}{\sqrt{n}}$ para comparar com a série dada, já sabemos que a série $\sum \dfrac {1}{\sqrt{n}}$ é uma p-série com $p=1/2<1$ logo, diverge. E como $\lim _{n\to \infty } \dfrac {6\sqrt{n}}{5n+4}\sqrt{n}=\dfrac {6}{5}>0$ então pela forma limite do teste de comparação segue que $\sum \dfrac {6\sqrt{n}}{5n+4}$ diverge.

Example 50. As séries $\sum e^{-n^2}$ e $\sum \operatorname{sen}^4(\dfrac {1}{n})$ convergem ou divergem?

Solução: Como $\lim e^{-n^2}/1/n^2=0$ e $\lim \dfrac {\operatorname{sen}^4 (\frac{1}{n})}{1/n^4}=1$ então ambas as séries convergem, pela forma limite do teste de comparação, já que as séries $\sum 1/n^2$ e $\sum 1/n^4$ convergem.

Theorem 51 (Reagrupamento). O reagrupamento de séries de termos positivos que sejam convergentes não altera a convergência da série.

Dadas duas séries $\sum a_ n$ e $\sum b_ n$ convergentes então $\sum a_ n b_ n$ não é necessariamente convergente. Além disso,

$\sum a_ n b_ n \neq \sum a_ n \sum b_ n=\sum c_ n$

onde

$\sum _{n=0}^{\infty } c_ n=\sum _{n=0}^{\infty } \sum _{j=0}^ n a_ j b_{n-j}$

Example 52. Temos que a série $\displaystyle \sum \dfrac {(-1)^ n}{\sqrt{n}}$ converge mas $\displaystyle \sum \dfrac {(-1)^ n}{\sqrt{n}} \dfrac {(-1)^ n}{\sqrt{n}}=\sum 1/n$ diverge.