1.3 Sequências Convergentes

Definition 14. Dizemos que $\{ a_ n\}$ converge para um número real $l$ se dado $\epsilon >0$ , existe $n_0\in \mathbb {N}$ tal que $|a_ n-l|<\epsilon$ , para todo $n\in \mathbb {N}.$ Neste caso, denotamos $\lim _{n\to \infty } a_ n=l.$ E dizemos que $a_ n$ é convergente. Caso contrário, se tal limite não existe, dizemos que a sequência $\{ a_ n\}$ é divergente.

Note que;

$|a_ n-l|<\epsilon$

se, e somente se,

$-\epsilon <a_ n-l<\epsilon$

ou,

$l-\epsilon <a_ n<l+\epsilon$

isto é,

$a_ n \in (l-\epsilon ,l+\epsilon ).$

Um número finito de termos não altera a convergência nem a divergência de uma sequência.

Theorem 15. Uma sequência convergente $\{ a_ n\}$ não pode ter dois limites.

De fato, se supomos que $a_ n$ converge e $l_1=\lim a_ n$ e $l_2=\lim a_ n$ com $l_1 \neq l_2$ então (suponha $l_1>l_2$ )

$l_1-l_2=|l1-l2|=|l_1-a_ n+a_ n+l_2|\leq |l_1-a_ n|+|a_ n-l_2|<2\epsilon$

agora tome $\epsilon =(l_1-l2)/2>0$ , desse modo, obtemos, $l_1-l_2<l_1-l_2$ o que é absurdo.

Example 16.

Vamos mostrar que $\lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n}=0$ . Dado $\epsilon >0$ , $\exists n_0 \in \mathbb {N}$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon }.$ Logo, se $n>n_0$ então $\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<\epsilon , \quad \forall n>n_0$ e assim $\lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n}=0.$
Consideremos a sequência $a_ n=\frac{n}{n+1}.$ Neste caso, $\lim _{n\to \infty } a_ n=1.$ Dado $\epsilon >0$ , note que

$|\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}<\epsilon \Leftrightarrow n>\frac{1}{\epsilon }-1$

Escolhendo o primeiro $n_0$ tal que $n_0>\frac{1}{\epsilon }-1$ então para todo $n>n_0$ temos

$n>\frac{1}{\epsilon }-1 \Rightarrow \frac{1}{n+1}<\epsilon \Rightarrow |\frac{n}{n+1}-1|<\epsilon .$

A sequência $b_ n=r^ n$ , onde $r\in \mathbb {R}$ , fixo, tal que $-1<r<1$ , converge para zero. Escolha $r\neq 0$ , dado $\epsilon >0$ , como $0<|r|<1,$ temos que $\ln |r|$ está definido, é diferente de zero, e $\ln |r|<0$ . Assim

$|r^ n-0|=|r|^ n <\epsilon \Leftrightarrow n \ln |r|< \ln \epsilon \Leftrightarrow n>\dfrac {\ln \epsilon }{\ln |r|}$

Escolha $n_0$ maior ou igual a $\dfrac {\ln \epsilon }{\ln |r|}$ assim $|r^ n|<\epsilon$ o que implica em $\lim _{n\to \infty } r^ n=0.$
Existem sequências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que $n$ aumenta, por exemplo, a sequência $a_ n=n$ . Nesse caso, dizemos que a sequência tem limite infinito e denotamos $\lim _{n\to \infty } a_ n=\infty$ , isso significa que dado $K>0$ qualquer, existe $n_0$ tal que $a_ n>K$ para todo $n>n_0.$ Para a sequência $b_ n=-n$ , $\lim _{n\to \infty } b_ n =-\infty .$
Se $|r|>1$ então $\lim _{n\to \infty } |r|^ n = + \infty$ e $\lim _{n\to \infty } r^ n$ não existe.
Se $a_ n=(-1)^ n$ e como, $\lim _{n\to \infty }a_{2n}=1$ e $\lim _{n\to \infty }a_{2n-1}=-1$ , logo, o limite de $a_ n$ não existe.

Theorem 17. Toda sequência convergente é limitada.

Seja $(a_ n)$ uma sequência convergente com limite $l$ . Isto é, $\lim _{n\to \infty } a_ n=l$ ou dado $\epsilon >0$ , $\exists n_0$ tal que $|a_ n-l|<\epsilon , \, \, \forall n>n_0$ ou seja,

$-\epsilon <a_ n-l<\epsilon , \, \, \forall n>n_0$

$|a_ n|<|l|+\epsilon , \, \, \, \forall n>n_0$

considere $M=\max \{ |a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{n_0}|,|l|+\epsilon \}$ então

$|a_ n|\leq M, \, \, \, \forall n\in \mathbb {N}$

segue que $(a_ n)$ é limitada. A recíproca não é verdadeira pois, por exemplo, a sequência $b_ n=\operatorname{sen}n$ é limitada mas $\lim _{n\to \infty } \operatorname{sen}n$ não existe.

Theorem 18. Sejam $(a_ n)$ uma sequência limitada e $(b_ n)$ uma sequência que converge a zero então $\lim _{n\to \infty } a_ n b_ n=0.$

Como $(a_ n)$ é limitada então existe $M>0$ tal que $|a_ n|\leq M, \, \, \ \forall n\in \mathbb {N}.$ Por outro lado, como $\lim _{n\to \infty } b_ n=0$ então dado $\epsilon >0$ , existe $n_0$ tal que $|b_ n|<\dfrac {\epsilon }{M}, \, \, \, \forall n>n_0.$ Desse modo,

$|a_ n b_ n|=|a_ n||b_ n|\leq M \frac{\epsilon }{M}<\epsilon , \, \, \forall n>n_0$

logo, $\lim _{n\to \infty } a_ n b_ n=0.$

Example 19. A sequência $\frac{1}{n} \operatorname{sen}n$ converge a zero. Pois, $\lim _{n\to \infty } \frac{1}{n}=0$ e $|\operatorname{sen}n|\leq 1.$ E pelo teorema 18 temos que $\lim _{n\to \infty } a_ n b_ n=0.$

Theorem 20. Temos que o $\lim _{n\to \infty } a_ n=0$ se, e somente se, $\lim _{n\to \infty } |a_ n|=0.$

Note que se $\lim _{n\to \infty } a_ n=L$ então necessariamente, o $\lim _{n\to \infty } |a_ n|=|L|$ . (Isso porque $||a_ n|-|L||\leq |a_ n-L|$ ). Mas, se $\lim _{n\to \infty } |a_ n|$ existe isso não implica que $\lim _{n\to \infty } a_ n$ exista. Pois, $\lim _{n\to \infty } (-1)^ n$ não existe, mas $\lim _{n\to \infty } |(-1)^ n|=1$ .

Theorem 21. Se $\lim _{n\to \infty } a_ n=\lim _{n\to \infty }c_ n=l$ e $(b_ n)$ é tal que $a_ n\leq b_ n \leq c_ n$ então $\lim _{n\to \infty } b_ n=l.$

De fato, $|a_ n-l|<\epsilon$ e $|c_ n-l|<\epsilon$ então

$l-\epsilon <a_ n<l+\epsilon , \, \, \forall n>n_1$

$l-\epsilon <c_ n<l+\epsilon \, \, \forall n>n_2$

tome $n_0=\max {n_1,n_2}$ então

$l-\epsilon <a_ n\leq b_ n\leq c_ n<l+\epsilon , \, \, \forall n>n_0$

logo,

$l-\epsilon <b_ n<l+\epsilon , \, \, \forall n>n_0$

ou $|b_ n-l|<\epsilon , \, \, \forall n>n_0.$

Theorem 22. Se $f:[a,\infty ) \to \mathbb {R}$ é uma função tal que $\lim _{x\to \infty }f(x)=l$ , então a sequência $a_ n=f(n)$ , $n>a$ é convergente e $lim_{n\to \infty } f(n)=l$ . Se $\lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty$ então $lim_{n\to \infty } f(n)=\pm \infty .$