1.2 Sequências Monótonas

Definition 9. Uma sequência $\{ a_ n\}$ é dita crescente ou não decrescente quando $a_ n\leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb {N}.$ Se $a_ n <a_{n+1}$ ela é dita estritamente crescente.

Definition 10. Uma sequência $\{ a_ n\}$ é dita decrescente ou não crescente quando $a_ n\geq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb {N}.$ Se $a_ n>a_{n+1}$ ela é dita estritamente decrescente.

Definition 11. Uma sequência é dita monótona se ela é crescente ou decrescente.

Example 12.

As sequências $a_ n=n$ e $b_ n=\ln n$ são crescentes, enquanto que, $c_ n=-n^3$ e $d_ n=1/n$ são decrescentes.
A sequência $a_ n=(-1)^ n$ não é monótona, isto é, ela não é crescente nem decrescente. É uma sequência alternada.
A sequência $a_ n=\dfrac {n}{n+1}$ é crescente. De fato, note que

$\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}=\dfrac {n+1}{n+2}\dfrac {n+1}{n}=\dfrac {n^2+2n+1}{n^2+2n}\geq 1, \forall n.$

A monotonicidade de alguma sequências pode ser deduzida por investigação do sinal da derivada da função extensão. Isto é, se $f(x)$ satisfaz $f(n)=a_ n$ . Por exemplo, para a sequência, $f(n)=\dfrac {n}{n+1}$ , podemos analisar a função $f(x)=\dfrac {x}{x+1}$ e como, $f’(x)=\dfrac {1}{(x+1)^2}$ que é positiva, logo, $f(x)$ é crescente e, por sua vez, $f(n)$ também é crescente.

Example 13. Para a sequência $a_ n=\dfrac {n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ não é possível definir a função extensão. Mas note que,

$\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}=\dfrac {1.3.5\cdots (2n-1)}{1.3.5\cdots (2n-1)(2n+1)}\dfrac {(n+1)!}{n!}=\dfrac {n+1}{2n+1}<1$

logo, $a_ n>a_{n+1}, \quad \forall n\in \mathbb {N}$ o que implica que $a_ n$ é decrescente.