1.3.1 Propriedades do Limite

Sejam $\{ a_ n\}$ e $\{ b_ n\}$ sequências convergentes limites $l$ e $r$ , respectivamente. Então:

$a_ n \pm b_ n$ converge para $l \pm r$ ;
$c a_ n$ converge para $cl$ ;
$|a_ n|$ converge para $|l|$ ;
$a_ n b_ n$ converge para $l r$ ;
se $r\neq 0$ então $\frac{a_ n}{b_ n}$ converge para $\frac{l}{r}.$

Vamos provar uma das propriedades acima, por exemplo, pode ser a propriedade 4. Suponha que $a_ n \to l$ e $b_ n \to r$ então dado $\epsilon >0$ , existe $n_0$ tal que $|a_ n-l|<\epsilon$ e $|b_ n-r|<\epsilon$ para todo $n>n_1$ e $n>n_2$ , assim, se $n_0=\max \{ n_1,n_2\} ,$ temos que para $n>n_0$

$|a_ n b_ n-lr|<|a_ n b_ n -a_ nr+a_ nr-lr|\leq |a_ n||b_ n-r|+|r||a_ n-l|<M\epsilon +|r|\epsilon =(M+|r|)\epsilon .$

Example 25. Analise sobre a convergência das sequências a seguir:

$(a) \, \, a_ n=\frac{3n+1}{5n}+\frac{(-1)}{n} \quad (b)\, \, b_ n=\cos \frac{1}{n}(1+\frac{1}{n})\quad (c)\, \, c_ n=\frac{n^2+3}{4n^2-2n+1}.$

Theorem 26. Toda sequência monótona limitada é convergente.

Suponha $(a_ n)$ uma sequência crescente e limitada. Segue que existe $M>0$ tal que

$|a_ n|\leq M, \, \, \, \forall n$

isto é, $a_ n\leq M.$ Logo, $M$ é uma cota superior para $(a_ n)$ , seja $l=\sup a_ n$ então $l$ é a menor das cotas superiores de $(a_ n)$ , assim $l-\epsilon$ não é cota superior de $(a_ n)$ então existe $n_1$ tal que

$l-\epsilon <a_{n_1}\leq l.$

Como $(a_ n)$ é crescente então $a_ n>a_{n_1}$ para todo $n>n_1$ , segue que,

$l-\epsilon <a_ n<l+\epsilon , \, \, \, \forall n>n_1$

isto é,

$|a_ n-l|<\epsilon , \, \, \, \forall n>n_1$

o que implica em $\lim _{n\to \infty } a_ n=l.$

Example 27. Vimos que a sequência cujo termo geral é $a_ n=\dfrac {n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ é decrescente. Veriquemos que ela também é limitada.

De fato, temos que

$0<a_ n=\dfrac {1}{1}\dfrac {2}{3}\dfrac {3}{5}\cdots \dfrac {n}{2n-1}\leq 1.1.1\cdots 1=1,\, \, \, \forall n$

Logo, pelo teorema 26 $a_ n$ é convergente. Além disso, $\inf a_ n=0$ . Logo, $\lim _{n\to \infty } \dfrac {n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}=0.$

Theorem 28. Se uma sequência $(a_ n)$ converge para um $l$ então todas as subsequências dela convergem para $l.$

Se pelo menos uma das subsequências de $(a_ n)$ digamos $(a_{n_ k})$ tivesse um outro limite $r\neq l$ então $a_{n_ k} \to r$ e $a_ n \to l$ com $l\neq r$ , mas isto contradiz o fato de limite ser único.

Example 29. A sequência $(-1)^ n$ possui subsequências tais que $(-1)^{2k} \to 1$ e $(-1)^{2k-1} \to -1$ . Logo, $(-1)^ n$ não converge. Por outro lado, a sequência $\dfrac {(-1)^ n}{n}$ converge para zero, pois $|(-1)^ n|\leq 1$ e $\dfrac {1}{n}\to 0.$ Assim, $\dfrac {(-1)^ n}{n}\to 0.$

Theorem 30. Teste da Razão para sequências Se uma sequência $(a_ n)$ de termos positivos satisfaz à condição $\lim _{n\to \infty } \dfrac {a_{n+1}}{a_ n}=l<1$ então ela converge para zero.

Seja $l<r<1$ tal que $0<\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}<r, \, \, \forall n>n_0.$ Como $r<1$ então $0<a_{n+1}<a_ n r<a_ n$ o que implica em $a_ n$ ser decrescente para $n\geq n_0.$ Assim $0<a_ n\leq a_{n_0}, \, \, \forall n>n_0$ o que implica em $(a_ n)$ ser limitada. Logo, $(a_ n)$ é convergente. Suponha, por absurdo, que $\lim _{n\to \infty } a_ n=s\neq 0$ então

$l=\lim _{n\to \infty }\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}=\dfrac {\lim a_{n+1}}{\lim a_ n}=\dfrac {s}{s}=1.$

Mas, $l<1.$

Example 31. As sequências $a_ n=\dfrac {n!}{n^ n}$ , $b_ n=\dfrac {r^ n}{n!}$ , $c_ n=\dfrac {n!}{1.3.5\cdots (2n-1)}$ , $d_ n=\dfrac {n^ p}{2^ n}$ convergem todas a zero.

De fato, para a sequência $a_ n$ temos

$\lim _{n\to \infty } \dfrac {a_{n+1}}{a_ n}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}\dfrac {n^ n}{n!}=\lim _{n\to \infty }(\dfrac {n}{n+1)})^ n=\dfrac {1}{e}<1$

aqui usou-se o limite fundamental:

$\lim _{x\to \infty }(1+\dfrac {1}{x})^ x=e$

Para a sequência $b_ n$ temos

$\lim _{n\to \infty } \dfrac {b_{n+1}}{b_ n}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {r^(n+1)}{(n+1)!}\dfrac {n!}{r^ n}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {r}{n+1}=0,$

e, para a sequência $d_ n$ temos

$\lim _{n\to \infty } \dfrac {d_{n+1}}{d_ n}=\lim {n \to \infty } \dfrac {(n+1)^ p}{2^(n+1)}\dfrac {2^ n}{n^ p}=\dfrac {1}{2}\lim _{n \to \infty } (\dfrac {n+1}{n})^ p=\dfrac {1}{2}<1$

aqui usou-se o fato que se uma função $f$ é contínua num intervalo que contém os termos da sequência $(a_ n)$ então $\lim _{n \to \infty } f(a_ n)=f(\lim _{n\to \infty } a_ n)=f(l).$ se $a_ n \to l.$ Nesse caso, temos

$\lim _{n \to \infty } (\dfrac {n+1}{n})^ p=(\lim _{n\to \infty } \dfrac {n+1}{n})^ p=1^ p=1$

Example 32. Considere a sequência $a_ n=n^{1/n}$ e calcule $\lim _{n \to \infty } n^{1/n}.$

Temos que $n^{1/n}=\exp (\dfrac {1}{n}\ln n)$ daí

$\lim _{n \to \infty } n^{1/n}=\lim _{n\to \infty }\exp (\dfrac {1}{n}\ln n)=\exp (\lim _{n\to \infty }\dfrac {1}{n}\ln n)=\exp 0=1.$