1.3 Programando um método numérico, caso especial

O cálculo de (18) pode ser facilmente feito em um programa computacional SIR.py.

from numpy import zeros, linspace
import matplotlib.pyplot as plt
# time out 1h
beta=10.0/(40*8*24)
gamma=3./(15*24)
dt=0.1 # 6 min
D=30 # simulate for D days

N_t=int(D*24/dt) # corresponds numero de horas
t=linspace(0, N_t*dt, N_t+1)
S=zeros(Nt+1)
I=zeros(Nt+1)
R=zeros(Nt+1)

# condições iniciais
S(0)=50
I(0)=1
R(0)=0
# passos das equações avançadas no tempo
for n in range(Nt):
S[n+1]=S[n]-dt*beta*S[n]I[n]
I[n+1]=I[n]+dt*beta*S[n]I[n]-dt*gamma *I[n]
R[n+1]=R[n]+dt*gamma*I[n]

fig=plt.figure()
l1,l2,l3=plt.plot(t,S,t,I,t,R)
fig.legend((l1,l2,l3),(’S’,’I’,’R’),’upper left’)
plt.xlabel(’hours’)
plt.show()
plt.savefig(’tmp.pdf’);plt.savefig(’tmp.png’)

Este programa foi escrito para estudar a disseminação de uma gripe num mencionado internato, e o raciocínio para uma possível escolha de $\gamma$ e $\beta$ é como segue.Nesta escola onda a doença se espalhou, no começo se observou que haviam 40 suscetíveis e 8 infectados, e esse número se tornou em 30 e 18 após 24 horas.

Usando o tempo como uma hora por unidade, temos por (3) que $\beta =10/(40.8.24)$ . Entre os 15 infectados notamos que 3 se recuperaram dando $\gamma =3/(15.24)$ . Aplicando este parâmetro ao novo caso, existem inicialmente 50 suscetíveis e 1 infectado dando o gráfico na figura 1 (observamos que $S$ reduziu enquanto $I$ e $R$ aumentaram. Depois de 30 dias todos que estavam doentes se recuperaram novamente.

Podemos experimentar com $\beta$ e $\gamma$ para ver se temos um surto da doença ou não. Imagine que uma campanha de "lavar as mãos" tenha tido um bom sucesso no combate ‘a doença, e neste caso, se experimentou uma redução de $\beta$ por um fator de 5. Com este valor de $\beta$ baixo a doença se espalhou bem lentamente se simularmos por 60 dias. As curvas aparecem nas figuras 1 e 2.

$\includegraphics[scale=0.3]{gripe.png}$

Figure 1: Natural evolução de uma gripe num internato

$\includegraphics[scale=0.7]{gripecontrolada.png}$

Figure 2: Pequeno surto da gripe no internato ( $\beta$ é muito menor que na fig. 1)

Observação 1. Olhando para a equação de $I$ é claro que nós devemos ter $\beta S I-\gamma I>0$ para que $I$ cresça. Quando começamos a simulação significa que

$\beta S(0) I(0)-\gamma I(0)>0$

ou simplesmente,

$\begin{equation} \label{espalhar} \beta S(0)/\gamma >1 \end{equation}$ (21)

para crescer o número de infectados e espalhar a doença.Podemos correr o programa SRI.py com $\beta$ menor que (21)e observamos que não há mais surto.

Observação 2.

Frequentemente quando desenvolvemos um modelo matemático começamos com um modelo específico e vemos através desse modelo que o que está acontecendo em essência neste exemplo também ocorrerá em muitas configurações de problemas semelhantes.

Nós tentamos incorporar esta generalização no modelo para que o mesmo tenha uma aplicação muito mais ampla do que a que pretendíamos no começo. Este é o próprio poder da modelagem matemática: resolvendo um caso específico, muitas vezes desenvolvemos ferramentas mais genéricas que podem ser prontamente aplicadas para resolver problemas aparentemente diferentes.