1.1 Disseminação de uma gripe

Imagine um internato fora do país. Esta escola é uma sociedade pequena e fechada. De repente, um ou mais dos alunos ficam gripados. Esperamos que a gripe possa se espalhar de forma bastante eficaz ou morrer. A questão é quantos alunos e funcionários da escola serão afetados.

Algumas matemáticas bem simples podem nos ajudar a entender a dinâmica de como a doença se espalha. Deixe a função matemática S(t) contar quantos indivíduos, no tempo t, têm a possibilidade de se infectar. Aqui, t pode contar horas ou dias, por exemplo. Esses indivíduos formam uma categoria denominada suscetíveis, rotulada como S. Outra categoria, eu, consiste nos indivíduos que estão infectados. Deixe I(t) contar quantos há na categoria I no tempo t. Supõe-se que um indivíduo que se recuperou da doença ganhe imunidade.

Há também uma pequena possibilidade de que um infectado morra. Em ambos os casos, o indivíduo é movido da categoria I para uma categoria que chamamos de categoria removida, rotulada com R. Deixamos que R(t) conte o número de indivíduos na categoria R no tempo t. Aqueles que entram na categoria R, não podem sair desta categoria.

Resumindo, a disseminação dessa doença é essencialmente a dinâmica de mover indivíduos da categoria S para a categoria I e depois para a categoria R. Podemos usar a matemática para descrever mais precisamente a troca entre as categorias. A ideia fundamental é descrever as mudanças que ocorrem durante um pequeno intervalo de tempo, denotado por $\Delta t$ .

Nosso modelo de doença é frequentemente referido como um modelo de compartimento, onde as quantidades são embaralhadas entre compartimentos (aqui um sinônimo para categorias) de acordo com algumas regras. As regras expressam mudanças em um pequeno intervalo de tempo $\Delta t$ , e a partir dessas mudanças podemos deixar de ir a zero e obter derivativos. As equações resultantes passam então das equações de diferença (com $\Delta t$ finito) para equações diferenciais ( $\Delta t \to 0$ ).

Introduzimos uma malha uniforme no tempo, $t_ n=n\Delta t,\, \, n=0,1,\cdots , N_ t$ ; e procure $S$ nos pontos da malha. A aproximação numérica de $S$ no tempo $t_ n$ é denotada por $S_ n$ . Da mesma forma, buscamos os valores desconhecidos de $I(t)$ e $R(t)$ nos pontos de malha e introduzimos uma notação semelhante $I_ n$ e $R_ n$ para as aproximações aos valores exatos $I(t_ n)$ e $R(t_ n)$ .

No intervalo de tempo, sabemos que algumas pessoas serão infectadas, então $S$ diminuirá. Em breve discutiremos por matemática que haverá $\beta \Delta t S I$ novos indivíduos infectados neste intervalo de tempo, onde $\beta$ é um parâmetro que reflete como as pessoas são facilmente infectadas durante um intervalo de tempo de duração da unidade.

Se a perda em $S$ é $\beta \Delta t S I$ , temos que a mudança em $S$ será:

$\begin{equation} \label{edo9} S_{n+1}-S_ n=-\beta (\Delta t) S_ n I_ n \end{equation}$

(1)

Dividindo por $\Delta t$ e deixando $\Delta \to 0$ , faz a abordagem do lado esquerdo $S’(t_ n)$ tal que obtemos uma equação diferencial

$\begin{equation} \label{edo10} S’(t)=-\beta S I \end{equation}$

(2)

O raciocínio em ir da equação de diferença (1) para a equação diferencial (2) segue exatamente os passos explicados na seção. 4.1.1. Antes de prosseguir com o desenvolvimento de $I$ e $R$ a tempo, vamos explicar a fórmula $\beta \Delta t SI$ . Temos $S$ suscetíveis e $I$ infectadas pessoas.

Estes podem formar pares $SI$ . Agora, suponha que durante um intervalo de tempo $T$ nós medimos que $m$ reuniões pareadas reais ocorrem entre $n$ pares de pessoas teoricamente possíveis das categorias $S$ e $I$ . A probabilidade de que as pessoas se encontrem em pares durante um tempo T é (pela definição de probabilidade empírica de frequência) igual a $m / n$ , ou seja, o número de sucessos dividido pelo número de resultados possíveis.

A partir dessas estatísticas, normalmente derivamos quantidades expressas por unidade de tempo, ou seja, aqui queremos a probabilidade por unidade de tempo, $\mu$ que é encontrada dividindo por $T$ : $\mu =m/(nT)$ . Dada a probabilidade $\mu$ , o número esperado de reuniões por intervalo de tempo de pares possíveis de $SI$ é (a partir de estatísticas básicas) $\mu SI$ .

Durante um intervalo de tempo $\Delta t$ , haverá $\mu SI \Delta t$ um número esperado de reuniões entre suscetíveis e pessoas infectadas, de modo que o vírus possa se espalhar. Apenas uma fração do $\mu SI \Delta t$ das reuniões são eficazes no sentido de que o suscetível realmente se infecta. Contando que $m$ pessoas são infectadas em $n$ tais reuniões em pares (digamos, 5 estão infectadas de 1000 reuniões),podemos estimar a probabilidade de ser infectado como $p=m/n$ .

O número esperado de indivíduos na categoria $S$ que pegaram o vírus e foram infectados é então $p \mu \Delta t SI$ . O valor de $\beta$ deve ser conhecido para predizer o futuro com o modelo de disseminação. Uma possibilidade é estimar $p$ e $\mu$ de seus significados na derivação acima.

Alternativamente, podemos observar um experimento existem $S_0$ suscetíveis e $I_0$ infectados em algum momento no tempo. Durante um intervalo de tempo $T$ nós contamos que $N$ suscetíveis foram infectados.

Usando (1) como uma rude aproximação de como S se desenvolveu durante o tempo $T$ (e agora $T$ não é necessariamente pequeno, mas nós usamos (1) de todo jeito), obtemos

$\begin{equation} \label{edo11} N=\beta T S_0 I_0 \Rightarrow \beta =\dfrac {N}{T S_0 I_0} \end{equation}$

(3)

Nós necessitamos de uma equação adicional para descrever a evolução de $I(t)$ . Tal equação é fácil de estabelecer notando que uma perda na categoria de $S$ representa um ganho na categoria de $I$ . Mais precisamente,

$\begin{equation} I_{n+1}-I_ n=\beta \Delta t S_ n I_ n \end{equation}$

(4)

Contudo existe também uma perda na categoria $I$ ja que houve pessoas que se recuperaram da doença.

Suponha que podemos medir que $m$ de $n$ indivíduos se recuperaram num período de tempo $T$ (digamos 10 de 40 doentes se recuperaram durante um dia: m=10, n=40, T=24 h. Agora $\gamma = m/(nT)$ é a probabilidade que um indivíduo recuperar-se num certo intervalo de tempo. Então(em média) $\gamma \Delta t I$ infectados irão se recuperar num intervalo de tempo $\Delta t$ .

Esta quantidade representa uma perda na categoria $I$ e um ganho na categoria $R$ , podemos então escrever a mudança total na categoria $I$ como

$\begin{equation} \label{edo13} I_{n+1}-I_ n=\beta \Delta t S_ n I_ n-\gamma \Delta t I_ n \end{equation}$

(5)

A mudança na categoria $R$ é simples: existe sempre um crescimento que vem da categoria $I$ :

$\begin{equation} \label{edo14} R_{n+1}-R_ n=\gamma \Delta t I_ n \end{equation}$

(6)

Não há perda na categoria $R$ (pessoas são ou recuperadas ou imunes ou mortas. Finalizamos assim a modelagem dessa categoria. Nós não precisamos estritamente da equação (6) para $R$ . Mas extensões do modelo serão necessárias mais tarde para a equação de $R$ .

Dividindo por $\Delta t$ nas equações (5) e (6) e fazendo $\Delta t \to 0$ resulta nas correspondentes equações diferenciais

$\begin{equation} I’=\beta S I-\gamma I \end{equation}$

(7)

$\begin{equation} R’=\gamma I \end{equation}$

(8)

Para referência, listamos um conjunto completo dos três equações de diferença:

$\displaystyle S_{n+1}-S_ n$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\beta (\Delta t) S_ n I_ n$	(9)
$\displaystyle I_{n+1}-I_ n$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \beta \Delta t S_ n I_ n-\gamma \Delta t I_ n$	(10)
$\displaystyle R_{n+1}-R_ n$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \gamma \Delta t I_ n$	(11)

Observe que isolamos as novas quantidades desconhecidas $S_{n+1}$ , $I_{n+1}$ e $R_{n+1}$ no lado esquerdo, de modo que elas possam ser prontamente computadas se $S_ n$ , $I_ n$ e $R_ n$ forem conhecidos. Para iniciar esse procedimento, precisamos saber $S_0$ , $I_0$ , $R_0$ . Obviamente, também precisamos ter valores para os parâmetros $\beta$ e $\gamma$ .

Também listamos o sistema de três equações diferenciais:

$\displaystyle S’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\beta S I$	(12)
$\displaystyle I’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \beta S I-\gamma I$	(13)
$\displaystyle R’(t)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \gamma I.$	(14)

Este modelo de equação assim como sua parte discreta, acima mencionada, é conhecido como modelo SIR. Os dados de entrada para esse modelo de equações diferenciais são $\beta$ e $\gamma$ bem como suas condições iniciais $S(0)=S_0$ , $I(0)=I_0$ e $R(0)=R_0$ .