11.3 Área de uma superf $\'{\i }$ cie paramétrica

Seja $S=\mathbf{r}(T)$ uma superf $\'{\i }$ cie paramétrica representada pela função $\mathbf{r}$ definida numa região $T$ do plano $-uv.$ Um retângulo em $T$ de área $\Delta u\Delta v$ é aplicado por $\mathbf{r}$ sobre um paralelogramo curvil $\'{\i }$ neo em $S$ com área aproximadamente igual a

$\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert \Delta u\Delta v.$

Definição: A área de $S,$ que representamos por $a(S),$ se define pela integral dupla

$\begin{equation} a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} \left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert dudv. \label{areaprodfund}\end{equation}$

(8)

Ou seja,

$\begin{equation} a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} \sqrt{\left( \frac{\partial (Y,Z)}{\partial (u,v)}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial (Z,X)}{\partial (u,v)}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial (X,Y)}{\partial (u,v)}\right) ^{2}}dudv \label{areasuppar}\end{equation}$

(9)

Se $S$ vem dada explicitamente por uma equação da forma $z=f(x,y),$ então

$\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right\Vert =\left\Vert -\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\mathbf{k}\right\Vert =\sqrt{1+\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) ^{2}}.$

Nesse caso,

$a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} \sqrt{1+\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) ^{2}}dxdy,$

onde $T$ é a projeção de $S$ no plano- $xy.$

$\includegraphics[ height=3.7861in, width=3.5838in ]{Figura6.eps}$

Quando $S$ está num plano paralelo ao plano- $xy,$ a função $f$ é constante e temos $\dfrac {\partial f}{\partial x}=0$ e $\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$ da $\'{\i }$

$a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} dxdy.$

Em cada ponto de $S$ , seja $\gamma =\hat{a}ngulo(\mathbf{N},\mathbf{k})$ onde $\mathbf{N}=\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}.$ Como a componente $z$ de $\mathbf{N}$ é $1,$ temos

$\cos \gamma =\frac{\mathbf{N\cdot k}}{\left\Vert \mathbf{N}\right\Vert \left\Vert \mathbf{k}\right\Vert }=\frac{1}{\left\Vert \mathbf{N}\right\Vert }=\frac{1}{\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right\Vert }.$

Portanto, $\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right\Vert =\dfrac {1}{\cos \gamma }.$ Logo,

$a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} \frac{1}{\cos \gamma }dxdy.$

Se $S$ está num plano não perpendicular ao plano- $xy$ . Neste caso, $\gamma =$ constante e temos que $a(S)=\left( \text {\'{a}rea de }T\right) /\cos \gamma ,$ ou

$a(S)=\frac{1}{\cos \gamma }{\displaystyle \iint \limits _{T}} dxdy.$

Agora se $S$ vem dada implicitamente por $F(x,y,z)=0.$ Se $S$ pode projetar-se injetivamente sobre o plano- $xy$ a equação $F(x,y,z)=0$ define $z$ como função de $x$ e $y,$ seja $z=f(x,y),$ assim

$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial x}/\frac{\partial F}{\partial z}\text { e }\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial F}{\partial y}/\frac{\partial F}{\partial z}$

nos pontos onde $\dfrac {\partial F}{\partial z}\neq 0.$ Desse modo

$\begin{equation} a(S)={\displaystyle \iint \limits _{T}} \frac{\sqrt{\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right) ^{2}}}{\left\vert \frac{\partial F}{\partial z}\right\vert }dxdy. \label{formimplic}\end{equation}$

(10)

Exemplo 1: Área de um hemisfério. Consideremos um hemisfério $S$ de raio $a$ e centro na origem. Temos a representação impl $\'{\i }$ cita $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\ \ z\geq 0;$ a expl $\'{\i }$ cita $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}};$ e a paramétrica

$\mathbf{r}(u,v)=a\cos u\ \cos v\mathbf{i}+a\operatorname {sen}u\ \cos v\mathbf{j}+a\operatorname {sen}v\mathbf{k.}$

Para calcular a área de $S$ a partir da representação impl $\'{\i }$ cita utilizamos a fórmula (10) tomando

$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}.$

Temos que $\frac{\partial F}{\partial x}=2x,$ $\frac{\partial F}{\partial y}=2y,\frac{\partial F}{\partial z}=2z.$ O hemisfério se projeto de forma injetiva no disco $D=\left\{ \left( x,y\right) :\ x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\right\}$ do plano- $xy.$ Não podemos aplica a fórmula diretamente pois $\frac{\partial F}{\partial z}$ é nula na fronteira de $D.$ Mas tal derivada não é nula em todo ponto no interior de $D,$ assim consideramos um disco concêntrico $D(R)$ de raio $R,$ $R<a.$ Se $S(R)$ representa a porção correspondente do hemisfério superior, $\left( \ref{formimplic}\right)$ é aplicável e resulta:

$\text {\'{a}rea de }S(R)={\displaystyle \iint \limits _{D(R)}} \frac{\sqrt{\left( 2x\right) ^{2}+\left( 2y\right) ^{2}+\left( 2z\right) ^{2}}}{\left\vert 2z\right\vert }dxdy$

$={\displaystyle \iint \limits _{D(R)}} \frac{a}{z}dxdy=a{\displaystyle \iint \limits _{D(R)}} \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$

temos

$\text {\'{a}rea de }S(R)=a\int _{0}^{2\pi }\left[ \int _{0}^{R}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}rdr\right] d\theta =2\pi a\left( a-\sqrt{a^{2}-R^{2}}\right)$

Quando $R\rightarrow a$ então área de $S(R)\rightarrow 2\pi a^{2}.$ No caso da superf $\'{\i }$ cie parametrizada, temos

$\left\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert =\left\Vert a\cos v\ \mathbf{r}(u,v)\right\Vert =a^{2}\left\vert \cos v\right\vert$

Logo, podemos aplicar $\left( \ref{areasuppar}\right)$ tomando $T=\left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\frac{1}{2}\pi \right] .$ Obtemos

$a(S)=a^{2}{\displaystyle \iint \limits _{T}} \left\vert \cos v\right\vert dudv=a^{2}\int _{0}^{2\pi }\left[ \int _{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos vdv\right] du=2\pi a^{2}.$

11.3 Área de uma superfcie paramétrica

11.3 Área de uma superf $\'{\i }$ cie paramétrica