11.2 Produto Vetorial fundamental

Considere uma superf $\'{\i }$ cie representada por

$S:\ \mathbf{r}(u,v)=X\left( u,v\right) \mathbf{i}+Y\left( u,v\right) \mathbf{j}+Z\left( u,v\right) \mathbf{k,\ }\left( u,v\right) \in T$

Se $X,Y$ e $Z$ são deriváveis em $T$ podemos considerar os dois vetores

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}=\frac{\partial X}{\partial u}\mathbf{i}+\frac{\partial Y}{\partial u}\mathbf{j+}\frac{\partial Z}{\partial u}\mathbf{k}$

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}=\frac{\partial X}{\partial v}\mathbf{i}+\frac{\partial Y}{\partial v}\mathbf{j+}\frac{\partial Z}{\partial v}\mathbf{k}$

O produto vetorial $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ se denominará produto vetorial fundamental de $\mathbf{r}.$

	$\displaystyle \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$	$\displaystyle =\left\vert \begin{array}[c]{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \begin{array}[c]{c}\frac{\partial X}{\partial u}\\ \end{array}& \begin{array}[c]{c}\frac{\partial Y}{\partial u}\\ \end{array}& \begin{array}[c]{c}\frac{\partial Z}{\partial u}\\ \end{array}\\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & \frac{\partial Z}{\partial v}\end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}[c]{cc}\begin{array}[c]{c}\frac{\partial Y}{\partial u}\\ \end{array}& \begin{array}[c]{c}\frac{\partial Z}{\partial u}\\ \end{array}\\ \frac{\partial Y}{\partial v} & \frac{\partial Z}{\partial v}\end{array} \right\vert \mathbf{i}+\left\vert \begin{array}[c]{cc}\begin{array}[c]{c}\frac{\partial Z}{\partial u}\\ \end{array}& \begin{array}[c]{c}\frac{\partial X}{\partial u}\\ \end{array}\\ \frac{\partial Z}{\partial v} & \frac{\partial X}{\partial v}\end{array} \right\vert \mathbf{j}+\left\vert \begin{array}[c]{cc}\begin{array}[c]{c}\frac{\partial X}{\partial u}\\ \end{array}& \begin{array}[c]{c}\frac{\partial Y}{\partial u}\\ \end{array}\\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v}\end{array} \right\vert \mathbf{k}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{\partial (Y,Z)}{\partial (u,v)}\mathbf{i}+\frac{\partial (Z,X)}{\partial (u,v)}\mathbf{j}+\frac{\partial (X,Y)}{\partial (u,v)}\mathbf{k.}$

Se $\left( u,v\right)$ é um ponto em $T$ no qual $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ são cont $\'{\i }$ nuas e o produto vetorial fundamental não é nulo, então o ponto imagem $\mathbf{r}\left( u,v\right)$ se chama ponto regular de $\mathbf{r,}$ caso contrário, o ponto é dito ponto singular $.$ Uma superf $\'{\i }$ cie $\mathbf{r}\left( T\right)$ se chama regular se todos os seus pontos são regulares.

Um retângulo em $T$ que tenha uma área $\Delta u\Delta v$ se converte numa porção em $\mathbf{r}(T)$ que aproximamos por um paralelogramo determinado pelos vetores $\left( \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\right) \Delta u$ e $\left( \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right) \Delta v$ . A área desse paralelogramo é o módulo do produto vetorial

$\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\Delta u\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\Delta v\right\Vert =\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert \Delta u\Delta v.$

Em cada ponto regular os vetores $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ determinam um plano que tem o vetor $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ como normal. Por esta razão o plano determinado por $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ se chama plano tangente à superf $\'{\i }$ cie. A continuidade de $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ implica na continuidade de $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v};$ isto significa que o plano tangente se move continuamente numa superf $\'{\i }$ cie regular. Assim, a continuidade de $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ evita a presença de bicos ou arestas nas superf $\'{\i }$ cies, o fato de $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\neq 0$ evita os casos degenerados.

$\includegraphics[ height=2.3194in, width=5.1526in ]{Figura11.eps}$

Exemplo 3: Superf $\'{\i }$ cies com representação expl $\'{\i }$ cita, $z=f(x,y).$ Neste caso,

$\mathbf{r}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+f(x,y)\mathbf{k,\ }(x,y)\in R$

A região $R$ denomina-se a projeção da superf $\'{\i }$ cie sobre o plano $-xy.$

$\includegraphics[ height=3.6668in, width=4.088in ]{Figura2.eps}$

Temos que

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{k},\ \ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{k,}\text { supondo }f\text { diferenci\'{a}vel}$

o que nos dá

$\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}\\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y}\end{array} \right\vert =-\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\mathbf{k.}$

Posto que a componente $z$ de $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}$ é $1,$ o produto vetorial fundamental nunca é zero. Logo os únicos pontos singulares desta representação são os pontos onde $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ não são cont $\'{\i }$ nuas.

Um caso t $\'{\i }$ pico é a equação $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},$ que representa um hemisfério de raio $1$ e centro na origem, se $x^{2}+y^{2}\leq 1.$ A equação vetorial é

$\mathbf{r}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\mathbf{k}$

ela aplica o disco unitário $T=\left\{ \left( x,y\right) :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ sobre o hemisfério e tal aplicação é injetora. $\$ As derivadas parciais $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial x}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial y}$ existem e são cont $\'{\i }$ nuas em todo o interior do disco, mas não existem na fronteira do disco. Logo, todo ponto da fronteira é um ponto singular desta representação.

Exemplo 4: Consideremos o mesmo hemisfério do exemplo anterior, mas desta vez como imagem do retângulo $T=\left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\dfrac {\pi }{2}\right]$ $\$ através da aplicação

$\ \mathbf{r}(u,v)=a\cos u\cos v\mathbf{i}+a\operatorname {sen}u\cos v\mathbf{j}+a\operatorname {sen}v\mathbf{k}$

os vetores $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ vem dados pelas fórmulas

$\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}=-a\operatorname {sen}v\cos v\mathbf{i}+a\cos u\cos v\mathbf{j}$

$\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}=-a\cos u\ \operatorname {sen}v\mathbf{i}-a\operatorname {sen}u\operatorname {sen}v\mathbf{j}+a\cos v\mathbf{k}$

Temos que

$\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}=a\cos v\mathbf{r}(u,v)$

A imagem de $T$ não é uma superf $\'{\i }$ cie paramétrica simples pois esta aplicação não é injetora. Com efeito, todo ponto do segmento retil $\'{\i }$ neo $v=\frac{\pi }{2},\ 0\leq u\leq 2\pi$ se aplica no ponto $(0,0,a)$ (pólo norte). Também pela periodicidade do seno e cosseno, $\mathbf{r}$ toma os mesmos valores nos pontos $\left( 0,v\right)$ e $\left( 2\pi ,v\right)$ de modo que os lados esquerdo e direito de $T$ se aplicam na mesma curva, que é um arco que o une o pólo norte ao ponto $\left( a,0,0\right) .$ Os vetores $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ e $\dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ são cont $\'{\i }$ nuos em todo $T.$ Como $\left\Vert \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac {\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert =a^{2}\cos v,$ então os únicos pontos singulares desta representação se apresenta quando $\cos v=0.$ Logo o único ponto singular é o pólo norte.