Cálculo Diferencial e Integral 3
Cálculo Diferencial e Integral 3 : Integral de Superficie : Integrais de Superf\'{\i }cie

11.4 Integrais de Superf\'{\i }cie

Definicao: Seja $S=\mathbf{r}(T)$ uma superf\'{\i }cie paramétrica descrita por uma função diferenciável $\mathbf{r}$ definida em $T$ do plano-$uv$ e seja $f$ um campo escalar definido e limitado em $S.$ A integral de superf\'{\i }cie de $f$ sobre $S$ se representa por ${\displaystyle \iint \limits _{S}} fdS$ (ou por ${\displaystyle \iint \limits _{S}} f(x,y,z)dS$) e é definida como

  \[ {\displaystyle \iint \limits _{S}} fdS={\displaystyle \iint \limits _{T}} f(\mathbf{r}\left( u,v\right) )\left\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert dudv. \]    

Exemplo 1: Área de superf\'{\i }cie

  \[ {\displaystyle \iint \limits _{S}} dS={\displaystyle \iint \limits _{T}} \left\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert dudv. \]    

Exemplo 2: Fluxo de um fluido através de uma superf\'{\i }cie. Imagine que um flu\'{\i }do é uma coleção de pontos chamados part\'{\i }culas. A cada part\'{\i }cula $\left( x,y,z\right) $ corresponde um vetor $\mathbf{v}\left( x,y,z\right) $ chamado velocidade. Este é o campo de velocidade da corrente. O campo de velocidade pode ou não mudar com o tempo. Consideraremos as correntes estacionárias. Seja $\rho \left( x,y,z\right) $ a densidade (massa por unidade de volume) do flu\'{\i }do em $\left( x,y,z\right) .$ Se o flu\'{\i }do é incompress\'{\i }vel a densidade $\rho $ será constante em todo flu\'{\i }do. O produto da densidade pela velocidade representamos por $\mathbf{F}$

  \[ \mathbf{F}(x,y,z)=\rho \left( x,y,z\right) \mathbf{v}\left( x,y,z\right) \ \ \left( \text {densidade de fluxo da corrente}\right) \]    

O vetor $\mathbf{F}(x,y,z)$ tem a mesma direção da velocidade e suas medidas de dimensões são

  \[ \frac{\text {massa}}{\text {unid. vol.}}\cdot \frac{\text {distancia}}{\text {unid. tempo}}=\frac{\text {massa}}{\text {unid. \'{a}rea}\cdot \text {unid. tempo}}. \]    

$\mathbf{F}$ nos diz quanta massa de flu\'{\i }do circula no ponto $\left( x,y,z\right) $ na direção de $\mathbf{v,}$ por unidade de área e de tempo.

Seja $S=\mathbf{r}\left( T\right) $ uma superf\'{\i }cie paramétrica simples. Em cada ponto regular de $S$ designamos por $\mathbf{\eta }$ o vetor unitário normal que tenha o mesmo sentido que o produto vetorial fundamental. Isto é

  \[ \mathbf{\eta }\text { }=\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert } \]    

$\mathbf{F\cdot \eta }$ $\ $é a componente do vetor densidade de fluxo na direção $\mathbf{\eta }$ . A massa de flu\'{\i }do que passa através de $S$ na unidade de tempo na direção de $\mathbf{\eta }$ se define por

  \[ {\displaystyle \iint \limits _{\mathbf{r}\left( T\right) }} \mathbf{F\cdot \eta }dS={\displaystyle \iint \limits _{T}} \mathbf{F\cdot \eta }\left\Vert \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\Vert dudv. \]    
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