5 Coordenadas Esféricas

Seja $P(x,y,z)$ um ponto situado no espaço. Podemos considerar esse ponto situado em coordenadas esféricas como segue. Se $\rho =\left\Vert OP\right\Vert ,$ seja $\phi$ o ângulo entre $OP$ e o vetor $k.$ A projeção desse ponto no eixo-z determinamos o ponto $Q$ , e consideramos o vetor $PQ,$ quando projetamos o ponto $P$ no plano-xy temos o ponto $P^{\prime },$ então claramente, temos que $\left\Vert PQ\right\Vert =\left\Vert OP^{\prime }\right\Vert$ e podemos escrever $\left\Vert PQ\right\Vert =\left\Vert OP\right\Vert \operatorname {sen}\phi =\rho \operatorname {sen}\phi .$ Temos também que $z=\left\Vert OQ\right\Vert =\left\Vert OP\right\Vert \cos \phi =\rho \cos \phi .$ Desse modo, temos que $x=\left\Vert OP^{\prime }\right\Vert \cos \theta =\rho \operatorname {sen}\phi \cos \theta$ e $y=\left\Vert OP^{\prime }\right\Vert \operatorname {sen}\theta =\rho \operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta .$ Assim as coordenadas cartesianas do ponto $P(x,y,z)$ são transformadas para as coordenadas

$x=\rho \operatorname {sen}\phi \cos \theta ,\ y=\rho \operatorname {sen}\phi \operatorname {sen}\theta ,\ \ z=\rho \cos \phi ;$

estas são as coordenadas esféricas do ponto $\ P.$ Note que a variação de $\rho ,\theta$ e $\phi$ são dadas da seguinte forma

$\rho \geq 0,\ \ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi .$

Se $\rho _{o}>0,$ o gráfico de $\rho =\rho _{0}$ é uma esfera de raio $\rho _{0},$ com centro na origem $0.$ Se $0<\phi _{0}<\pi$ então o gráfico de $\phi =\phi _{0}$ é um meio cone de vértice na origem $0.$ O gráfico de $\theta =\theta _{0}$ é um semiplano contendo o eixo-z.

Se um ponto $P$ tem coordenadas esféricas $(4,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3})$ , ache as coordenadas retangulares e cilindricas de $P.$

Solução: Temos que $\rho =4,$ $\phi =\frac{\pi }{6}$ e $\theta =\frac{\pi }{3}.$ Então

$x=4\operatorname {sen}\frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{3}=4\left( \frac{1}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) =1$

$y=4\operatorname {sen}\frac{\pi }{6}\operatorname {sen}\frac{\pi }{3}=4\left( \frac{1}{2}\right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\sqrt{3}$

$z=4\cos \frac{\pi }{6}=4\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\sqrt{3}$

Para achar as coordenadas cilindricas de $P,$ temos que

$r^{2}=x^{2}+y^{2}=1+3=4$

e então $r=2.$ Assim as coordenadas cilindricas de $P$ são $(2,\frac{\pi }{3},2\sqrt{3}).$

Ache uma equação em coordenadas esféricas cujo gráfico seja o parabolóide $z=x^{2}+y^{2}.$

Solução: Temos que

	$\displaystyle \rho \cos \phi$	$\displaystyle =\rho ^{2}\operatorname {sen}^{2}\phi \cos ^{2}\theta +\rho ^{2}\operatorname {sen}^{2}\phi \operatorname {sen}^{2}\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\rho ^{2}\operatorname {sen}^{2}\phi$