4.1 Integrais triplas em coordenadas cilindricas

Suponha $Q$ uma região do tipo

$Q=\left\{ \left( r,\theta ,z\right) ;\ a\leq r\leq b,\ c\leq \theta \leq d,\ m\leq z\leq n\right\}$

e $f$ uma função cont $\'{\i }$ nua dependente de $r,\theta$ e $z$ em $Q.$ Então

${\displaystyle \iiint _{Q}} f(r,\theta ,z)dV=\int _{m}^{n}\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(r,\theta ,z)rdrd\theta dz.$

Suponha agora que $Q$ é do tipo

$Q=\left\{ \left( r,\theta ,z\right) ;\left( r,\theta \right) \in R\text { e }k_{1}(r,\theta )\leq z\leq k_{2}\left( r,\theta \right) \right\}$

onde $R$ é uma região do tipo

$R=\left\{ \left( r,\theta \right) ;\alpha \leq \theta \leq \beta ,\ \ g_{1}(\theta )\leq r\leq g_{2}(\theta )\right\}$

então temos que

${\displaystyle \iiint _{Q}} f(r,\theta ,z)dV={\displaystyle \iint _{R}} \left[ \int _{k_{1}(r,\theta )}^{k_{2}\left( r,\theta \right) }f(r,\theta ,z)\ dz\right] dA$

que pode ser escrita como

${\displaystyle \iiint _{Q}} f(r,\theta ,z)dV=\int _{\alpha }^{\beta }\int _{g_{1}\left( \theta \right) }^{g_{2}\left( \theta \right) }\int _{k_{1}(r,\theta )}^{k_{2}\left( r,\theta \right) }f(r,\theta ,z)\ dzdrd\theta$

Ache o centróide de um sólido hemisférico $Q$ de raio $a.$

Solução: Temos que

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$

logo, a massa desse sólido é calculada como

$m={\displaystyle \iiint _{Q}} dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}dzrdrd\theta =\frac{2\pi }{3}a^{3}.$

Por simetria o centróide está sobre o eixo-z, então basta achar o $M_{xy}.$ Como

	$\displaystyle M_{xy}$	$\displaystyle ={\displaystyle \iiint _{Q}} zdV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}zdzrdrd\theta =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\left[ \frac{z^{2}}{2}\right] _{0}^{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}rdrd\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\left( a^{2}-r^{2}\right) rdrd\theta =\frac{1}{4}\pi a^{4}.$

Logo

$\overline{z}=\frac{3}{8}a.$

Um sólido $Q$ é delimitado pelo cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e pelo plano $z=2.$ A densidade em cada ponto $P\left( x,y,z\right)$ do cone é diretamente proporcional à distância da origem a $P.$ Ache sua massa.

Solução: Temos que

$\delta \left( x,y,z\right) =k\left( r^{2}+z^{2}\right)$

Logo

$m=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2}\int _{r}^{2}k(r^{2}+z^{2})rdzdrd\theta .$

Suponha uma região $G,$ no espaço, cuja projeção no plano- $xy$ seja uma região $D$ , descrita em coordenadas polares. Isto é,

$G=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb {R}^{3};\; \left( x,y\right) \in D\text { e }g_{1}(x,y)\leq z\leq g_{2}(x,y)\right\}$

$D=\left\{ (r,\theta )\in \mathbb {R}^{2};\; \alpha \leq \theta \leq \beta ,\; 0\leq h_{1}(\theta )\leq r\leq h_{2}(\theta )\right\} .$

Nesse caso, temos

	$\displaystyle \iiint _{G}f(x,y,z)dV$	$\displaystyle =\iint _{D}\left( \int _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz\right) dA$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{\alpha }^{\beta }\int _{h_{1}(\theta )}^{h_{2}(\theta )}\int _{g_{1}(r\cos \theta ,\; r\sin \theta )}^{g_{2}(r\cos \theta ,\; r\sin \theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dzrdrd\theta$

Este é o teorema de mudança de variável das coordenadas cartesianas para coordenadas cilindricas.

Calcule o centróide da parte da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ $\leq a^{2}$ ( $a>0$ ) que está no primeiro octante.

Sol.: A reta $x=y=z$ é a reta de simetria da parte da esfera. De modo que o centróide pertence a esta reta. Assim temos $\overline{x}=\overline{y}=\overline{z}.$ Calculando $\overline{z},$ temos

$V\overline{z}=\iiint _{G}zdV$

onde $V$ é o volume da parte da esfera representada por $G.$ Usando coordenadas cil $\'{\i }$ ndricas, fazemos a substituição $x=r\cos \theta ,$ $y=r\operatorname {sen}\theta ;$ os limites de integração de $z$ , ficam $z=0$ a $z=\sqrt{a^{2}-r^{2}}.$ Portanto:

$\iiint _{G}zdV=\iint _{D}\left( \int _{0}^{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}zdz\right) dA=\iint _{D}\frac{1}{2}(a^{2}-r^{2})dA$

onde $D$ é o quarto de c $\'{\i }$ rculo de raio $a.$ Agora calculando a integral dupla usando coordenadas polares temos:

	$\displaystyle \iint _{D}\frac{1}{2}(a^{2}-r^{2})dA$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\int _{0}^{a}(a^{2}-r^{2})rdrd\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( \frac{1}{2}a^{2}r^{2}-\frac{1}{4}r^{4}\right) _{0}^{a}d\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{1}{8}a^{4}\frac{\pi }{2}=\frac{1}{16}a^{4}\pi$