2.2 Integrais duplas em Coordenadas polares

Considere a região $R$ como na figura 1, delimitada por arcos de c $\'{\i }$ rculos de raios $r_{1}$ e $r_{2}$ e por dois raios que saem da origem. Se $\Delta \theta$ é a medida em radianos do ângulo entre os raios e se $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ então a área $\Delta A$ de $R$ é

$\Delta A=\frac{1}{2}r_{2}^{2}\Delta \theta -\frac{1}{2}r_{1}^{2}\Delta \theta$

$\Delta A=\frac{1}{2}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})\Delta \theta =\frac{1}{2}(r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})\Delta \theta$

chamando $\overline{r}=\frac{1}{2}(r_{2}+r_{1})$ então

$\Delta A=\overline{r}\Delta r\Delta \theta .$

Agora consideremos a região $R$ como na figura 2, delimitada por dois raios que fazem ângulos $\alpha$ e $\beta$ com o eixo polar, e pelos gráficos de suas equações polares $r=g_{1}(\theta )$ e $r=g_{2}(\theta ),$ em que $g_{1}$ e $g_{2}$ são funções cont $\'{\i }$ nuas e $g_{1}(\theta )\leq g_{2}(\theta )$ para $\alpha \leq \theta \leq \beta .$

Subdividimos $R$ por meio de arcos circulares e raios conforme a figura 2. Então a coleção de regiões polares elementares $R_{1},\cdots ,R_{n}$ que estão completamente dentro de $R$ é chamada a partição polar interior $P$ de $R.$ A $\left\| P\right\|$ é o comprimento da maior diagonal dos $R_{k}.$ Escolhido um ponto $(r_{k},\theta _{k})$ em $R_{k}$ talque $r_{k}$ seja o raio médio, então

$\Delta A_{k}=r_{k}\Delta r_{k}\Delta \theta _{k}.$

Se $f$ é uma função cont $\'{\i }$ nua das variáveis polares $r$ e $\theta$ então temos o seguinte resultado.

$\iint _{R}f(r,\theta )dA=\int _{\alpha }^{\beta }\int _{g_{1}(\theta )}^{g_{2}(\theta )}f(r,\theta )rdrd\theta$

$=\lim _{\left\| P\right\| \rightarrow 0}\sum _{k}f(r_{k},\theta _{k})r_{k}\Delta r_{k}\Delta \theta _{k}.$

Se $f(r,\theta )=1$ em toda $R,$ então a integral acima é igual a área de $R.$

Ache a área da região $R$ exterior ao c $\'{\i }$ rculo $r=a$ e interior ao c $\'{\i }$ rculo $r=2a\sin \theta .$

Sol.: Os pontos de interseção destes c $\'{\i }$ rculos são:

$a=2a\sin \theta \Rightarrow \sin \theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta _{1}=\frac{\pi }{6}\text { e }\theta _{2}=\frac{5\pi }{6}.$

Logo:

	$\displaystyle A$	$\displaystyle =\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}\int _{a}^{2a\sin \theta }rdrd\theta =\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}[\frac{r^{2}}{2}]_{a}^{2a\sin \theta }d\theta =$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(2a^{2}\sin ^{2}\theta -\frac{a^{2}}{2})d\theta =a^{2}\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(2\sin ^{2}\theta -\frac{1}{2})d\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =a^{2}\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(1-\cos 2\theta -\frac{1}{2})d\theta =a^{2}[\frac{1}{2}\theta -\frac{\sin 2\theta }{2}]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =a^{2}(\frac{\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}).$

Note que $x=a\cos \theta ,$ $\ y=a\sin \theta ,$ nos faz deduzir que

$r=2a\sin \theta$

implica em

$x^{2}+y^{2}=2ay\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2ay+a^{2}=a^{2}\Rightarrow x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}.$

Ache a área da região $R$ delimitada pelo laço da lemniscata $r^{2}=a^{2}\sin 2\theta ,$ $a>0.$

Sol.: Quando $\theta$ variar de $0$ a $\frac{\pi }{2},$ varremos um laço da lemniscata. Segue que:

	$\displaystyle A$	$\displaystyle =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}\sin 2\theta }}rdrd\theta =\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}[\frac{r^{2}}{2}]_{0}^{a\sqrt{\sin 2\theta }}d\theta$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int _{0}^{\frac{\pi }{2}}a^{2}\sin 2\theta d\theta =-\frac{1}{4}a^{2}[\cos 2\theta ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-\frac{1}{4}a^{2}(-1-1)=\frac{1}{2}a^{2}.$

Fórmula de mudança de variável:

$\iint _{R}f(x,y)dydx=\iint f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta .$

Utilize coordenadas polares para calcular

$\int _{-a}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}dydx.$