Cálculo Diferencial e Integral 3
Cálculo Diferencial e Integral 3 : Momentos e centro de massa

3 Momentos e centro de massa

Suponha que temos uma lâmina não-homogênea $L$ que tenha a forma de uma região $R$ do plano-xy. Se a densidade de massa por área no ponto $(x,y)$ é $\delta (x,y)$ e $\delta $ é cont\'{\i }nua em $R,$ então

  \[ m=\iint _{R}\delta (x,y)dA \]    

Seja $P=\{ R_{k}\} $ uma partição de $R$ e, para cada $k,$ seja $(x_{k},y_{k})$ um ponto arbitrário de $R_{k}.$ Como $\delta $ é cont\'{\i }nua, podemos pensar que $\delta $ é quase constante em $R_{k}.$ Logo, se $\left\| P\right\| \approx 0,$ a massa $\Delta m_{k}$ que corresponde a $R_{k}$ pode ser aproximada por $\delta (x_{k},y_{k})\Delta A_{k},$ em que $\Delta A_{k}$ é a área de $R_{k}.$ Admitindo a massa $\Delta m_{k}$ concentrada em $(x_{k},y_{k}),$ então o momento deste elemento de $L$ em relação ao eixo-x é o produto de $y_{k}\delta (x_{k},y_{k})\Delta A_{k}.$ Como a soma dos momentos deve aproximar o momento da lâmina, definimos o momento $M_{x}$ de $L$ em relação ao eixo-x como segue:

  \[ M_{x}=\lim _{\left\| P\right\| \rightarrow 0}\sum _{k}y_{k}\delta (x_{k},y_{k})\Delta A_{k}=\iint _{R}y\delta (x,y)dA \]    

Da mesma forma o momento $M_{y}$ de $L$ em relação ao eixo-y é

  \[ M_{y}=\lim _{\left\| P\right\| \rightarrow 0}\sum _{k}x_{k}\delta (x_{k},y_{k})\Delta A_{k}=\iint _{R}x\delta (x,y)dA \]    

Definimos o centro de massa (ou centro de gravidade) da lâmina como o ponto $(\overline{x},\overline{y})$ tal que $\overline{x}=M_{y}/m,$ $\overline{y}=M_{x}/m.$

Se $L$ é homogênea, então a densidade de massa por área $\delta (x,y)$ é constante e pode ser cancelada nas equações acima.

Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de comprimento $a.$ A densidade de massa por área no ponto $P$ é diretamente proporcional ao quadrado da distância de $P$ ao vértice oposto à hipotenusa. Ache o centro de massa.

Sol.:

A lâmina é a mesma do exemplo anterior. Temos que $\delta (x,y)=k(x^{2}+y^{2}),$ e já sabemos que $m=\frac{1}{6}ka^{4}.$ Por definição:

  \[ M_{y}=\iint _{R}xk(x^{2}+y^{2})dA=\int _{0}^{a}\int _{0}^{a-x}xk(x^{2}+y^{2})dydx=\frac{1}{15}ka^{5}. \]    

Logo,

  \[ \overline{x}=\frac{\frac{1}{15}ka^{5}}{\frac{1}{6}ka^{4}}=\frac{2}{5}a. \]    

Analogamente, $M_{x}=\frac{1}{15}ka^{5}$ e $\overline{y}=\frac{2}{5}a.$ Assim, o centro de massa da lâmina é $(\frac{2}{5}a,\frac{2}{5}a).$

Uma lâmina tem a forma da região $R$ do plano-$xy$ delimitada pela parábola $x=y^{2}$ e a reta $x=4.$ A densidade de massa por área no ponto $P(x,y)$ é diretamente proporcional à distância do eixo-$y$ a $P.$ Ache o centro de massa.

Sol.:

A densidade de massa por área em $(x,y)$ é $\delta (x,y)=kx$ para uma constante $k.$ Segue-se da forma de $\delta $ e da simetria da região, que o centro de massa está sobre o eixo-$x$, isto é, $\overline{y}=0.$

Por definição, temos que

  $\displaystyle m $ $\displaystyle =\iint _{R}kxdA=k\int _{-2}^{2}\int _{y^{2}}^{4}xdxdy $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =k\int _{-2}^{2}\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{y^{2}}^{4}dy=\frac{1}{2}k\int _{-2}^{2}(16-y^{4})dy=\frac{128}{5}k. $    

Temos também que

  $\displaystyle M_{y} $ $\displaystyle =\iint _{R}x(kx)dA=k\int _{-2}^{2}\int _{y^{2}}^{4}x^{2}dxdy $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =k\int _{-2}^{2}\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right] _{y^{2}}^{4}dy=\frac{1}{3}k\int _{-2}^{2}(64-y^{6})dy=\frac{512}{7}k. $    

Consequentemente:

  \[ \overline{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{512k}{7}.\frac{5}{128k}=\frac{20}{7}, \]    

logo o centro de massa é $(\frac{20}{7},0).$

Momentos de Inércia de uma lâmina:

  \[ I_{x}=\iint _{R}y^{2}\delta (x,y)dA\; \; \text {(Momento de In\'{e}rcia em rela\c{c}\~{a}o ao eixo-}x\text {)} \]    
  \[ I_{y}=\iint _{R}x^{2}\delta (x,y)dA\; \; \text {(Momento de In\'{e}rcia em rela\c{c}\~{a}o ao eixo-}y\text {)} \]    
  \[ I_{0}=\iint _{R}\left( x^{2}+y^{2}\right) \delta (x,y)dA\text { \ (Momento polar de In\'{e}rcia, em rela\c{c}\~{a}o \`{a} origem).} \]    

Uma lâmina tem a forma semicircular da figura *. A densidade de massa por área é diretamente proporcional à distância do eixo-$x$. Ache o momento de inércia em relação ao eixo-$x.$

Sol.:

Por hipótese, a densidade de massa por área em $(x,y)$ é $\delta (x,y)=ky.$ Temos que o momento de inércia em relação ao eixo-$x$ é

  $\displaystyle I_{x} $ $\displaystyle =\int _{-a}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}y^{2}(ky)dydx=k\int _{-a}^{a}\left[ \frac{1}{4}y^{4}\right] _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{1}{4}k\int _{-a}^{a}(a^{4}-2a^{2}x^{2}+x^{4})dx=\frac{4}{15}ka^{5}. $    

Os momentos de inércia são úteis em problemas que envolvem a rotação de um objeto em torno de um eixo fixo. Por exemplo, a rotação de uma roda ( ou um disco) em torno de um eixo. Se uma part\'{\i }cula $P$ da roda tem massa $m$ e está a uma distância $k$ do eixo de rotação, então o momento de inércia $I$ de $P$ em relação ao eixo é $mk^{2}.$ Se a velocidade angular $\frac{d\theta }{dt}$ é uma constante $\omega ,$ então a velocidade $v$ da part\'{\i }cula é $k\omega .$ Sabemos que

  \[ E_{c}=\frac{1}{2}mv^{2}. \]    

Como $v=k\omega ,$

  \[ E_{c}=\frac{1}{2}mk^{2}w^{2}=\frac{1}{2}I\omega ^{2}. \]    

Como $E_{c}=\frac{1}{2}I\omega ^{2},$ a energia cinética é diretamente proporcional ao momento de inércia.

Consideremos agora um sólido com a forma de uma região tridimensional $Q.$ Suponha que a densidade de massa em $(x,y,z)$ seja $\delta (x,y,z)$ e que $\delta $ seja cont\'{\i }nua em toda $Q.$ Seja $\{ Q_{k}\} $ uma partição interior de $Q,$ e seja $\Delta V_{k}$ o volume de $Q_{k}.$ Se $(x_{k},y_{k},z_{k})$ é um ponto de $Q_{k}$ então a massa correspondente é aproximadamente igual a $\delta (x_{k},y_{k},z_{k})\Delta V_{k}.$ A massa do sólido é o limite de tais somas, isto é, $\iiint _{Q}\delta (x,y,z)dV.$

O momento em relação ao plano-$xy$ da parte do sólido que corresponde a $Q_{k}$ é aproximado por $z_{k}\delta (x_{k},y_{k},z_{k})\Delta V_{k}.$ Somando e tomando o limite, obtemos o momento do sólido $M_{xy}$ em relação ao plano$-xy.$ Analogamente, obtemos os momentos $M_{yz}$ e $M_{xz}$ do sólido em relação aos planos $yz$ e $xz$, respectivamente. Ou seja, temos

Momentos e centros de massa em três dimensões:

  \[ m=\iiint _{Q}\delta (x,y,z)dV. \]    
  $\displaystyle M_{xy} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}z\delta (x,y,z)dV $    
  $\displaystyle M_{xz} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}y\delta (x,y,z)dV $    
  $\displaystyle M_{yz} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}x\delta (x,y,z)dV $    
  \[ \overline{x}=\frac{M_{yz}}{m};\; \overline{y}=\frac{M_{xz}}{m};\; \overline{z}=\frac{M_{xy}}{m}\; \; \text {(\textbf{centro de massa})} \]    

Centróide: $\delta (x,y,z)=1,$ obtemos o centróide $(\overline{x},\overline{y},\overline{z}).$

Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base $a$ e altura $h.$ A densidade num ponto $P$ é diretamente proporcional à distância de uma das bases a $P.$ Ache o centro de massa.

Sol.: No exemplo anterior, vimos que $\delta (x,y,z)=kz,$ e obtivemos $m=\frac{1}{2}\pi kh^{2}a^{2}.$

O centro de massa está no eixo-$z$, de modo que basta achar $\overline{z}=\frac{M_{xy}}{m}.$ Além disso, pela simetria do sólido e pela forma de $\delta ,$ podemos calcular $M_{xy}$ da seguinte forma:

  $\displaystyle M_{xy} $ $\displaystyle =4\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\int _{0}^{h}z(kz)dzdydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =4k\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\left[ \frac{z^{3}}{3}\right] _{0}^{h}dydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{4}{3}kh^{3}\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{4}{3}kh^{3}\int _{0}^{a}\left[ y\right] _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{4}{3}kh^{3}\int _{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{4}{3}kh^{3}\frac{1}{4}\pi a^{2}=\frac{1}{3}\pi kh^{3}a^{2}. $    

Da\'{\i }

  \[ \overline{z}=\frac{M_{xy}}{m}=\frac{\frac{1}{3}\pi kh^{3}a^{2}}{\frac{1}{2}\pi kh^{2}a^{2}}=\frac{2}{3}h. \]    

logo, o centro de massa é $(0,0,\frac{2}{3}h).$

Um sólido tem a forma da região do primeiro octante delimitada pelo parabolóide $z=4-9x^{2}-y^{2}$ e os planos $y=4x,$ $z=0$ e $y=0.$ A densidade em $P(x,y,z)$ é proporcional à distância da origem a $P.$ Estabeleça integrais iteradas para calcular $\overline{x}.$

Sol.: A densidade em $(x,y,z)$ é $\delta (x,y,z)=k(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac{1}{2}}$ para algum $k.$ Temos que

  \[ m=\int _{0}^{\frac{8}{5}}\int _{y/4}^{\sqrt{4-y^{3}}/3}\int _{0}^{4-9x^{2}-y^{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}dzdxdy \]    
  \[ M_{yz}=\int _{0}^{\frac{8}{5}}\int _{y/4}^{\sqrt{4-y^{3}}/3}\int _{0}^{4-9x^{2}-y^{2}}xk(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}dzdxdy \]    
  \[ \overline{x}=\frac{M_{yz}}{m}. \]    

Se uma part\'{\i }cula de massa $m$ está no ponto $(x,y,z),$ então sua distância ao eixo-$z$ é $(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}$ e seu momento de inércia $I_{z}$ em relação ao eixo-$z$ define-se como $(x^{2}+y^{2})m.$ Da mesma forma, os momentos de inércia $I_{x}$ e $I_{y}$ em relação aos eixos $x$ e $y$ são $(y^{2}+z^{2})m$ e $(x^{2}+z^{2})m,$ respectivamente. Para sólidos $Q$ obtemos o seguinte.

Momento de inércia de sólidos

  $\displaystyle I_{z} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}(x^{2}+y^{2})\delta (x,y,z)dV $    
  $\displaystyle I_{x} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}(z^{2}+y^{2})\delta (x,y,z)dV $    
  $\displaystyle I_{y} $ $\displaystyle =\iiint _{Q}(x^{2}+z^{2})\delta (x,y,z)dV $    

Ache o momento de inércia, em relação ao eixo de simetria, do sólido cil\'{\i }ndrico descrito no exemplo anterior.

Sol.: Como $\delta (x,y,z)=kz,$ temos

  $\displaystyle I_{z} $ $\displaystyle =4\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\int _{0}^{h}(x^{2}+y^{2})kzdzdydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =4k\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})\left[ \frac{z^{2}}{2}\right] _{0}^{h}dydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =4kh^{2}\int _{0}^{a}\int _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(x^{2}+y^{2})dydx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =2kh^{2}\int _{0}^{a}\left[ x^{2}y+\frac{1}{3}y^{3}\right] _{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =2kh^{2}\int _{0}^{a}\left[ x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{1}{3}\sqrt{(a^{2}-x^{2})^{3}}\right] $    
  $\displaystyle $ $\displaystyle =\frac{1}{4}\pi kh^{2}a^{4}. $    

Um sólido homogêneo tem a forma da região $Q$ delimitada pelo cone $x^{2}-y^{2}+z^{2}=0$ e o plano $y=3.$ Estabeleça uma integral tripla para calcular seu momento de inércia em relação ao eixo-$y.$

Sol.: Note que o traço do cone no plano-$xy$ é o par de retas $x=\pm y.$ Denotando por $k$ a densidade constante, temos

  \[ I_{y}=\int _{0}^{3}\int _{-y}^{y}\int _{-\sqrt{y^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}(x^{2}+z^{2})kdzdxdy. \]    
Cálculo Diferencial e Integral 3