2 Integrais Iteradas

Se $\ R$ é uma região retangular do tipo

$R=\left\{ (x,y):\ a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\right\}$

então a integral de uma função $f$ definida em $R$ é dada por

${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)dydx=\int _{a}^{b}\left[ \int _{c}^{d}f(x,y)dy\right] dx,$

${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)dxdy=\int _{c}^{d}\left[ \int _{a}^{b}f(x,y)dx\right] dy.$

Calcule $\int _{1}^{4}\int _{-1}^{2}\left( 2x+6x^{2}y\right) dydx.$

Solução: Por definição

	$\displaystyle \int _{1}^{4}\int _{-1}^{2}\left( 2x+6x^{2}y\right) dydx$	$\displaystyle =\int _{1}^{4}\left[ 2xy+6x^{2}\left( \frac{y^{2}}{2}\right) \right] _{-1}^{2}dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{1}^{4}\left[ \left( 4x+12x^{2}\right) -\left( -2x+3x^{2}\right) \right] dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{1}^{4}\left( 6x+9x^{2}\right) dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ 3x^{2}+3x^{3}\right] _{1}^{4}=234.$

Calcule $\int _{-1}^{2}\int _{1}^{4}\left( 2x+6x^{2}y\right) dxdy.$

Solução: Temos que

	$\displaystyle \int _{-1}^{2}\int _{1}^{4}\left( 2x+6x^{2}y\right) dxdy$	$\displaystyle =\int _{-1}^{2}\left[ 2\frac{x^{2}}{2}+6\left( \frac{x^{3}}{3}\right) y\right] _{1}^{4}dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{-1}^{2}\left[ \left( 16+128y\right) -\left( 1+2y\right) \right] dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{-1}^{2}\left( 126y+15\right) dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ 63y^{2}+15y\right] _{-1}^{2}=234.$

Agora queremos integrar sobre regiões dos tipos abaixo. Damos a seguinte definição.

(i) $\int _{a}^{b}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)dydx=\int _{a}^{b}\left[ \int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,y)dy\right] dx$

(ii) $\int _{c}^{d}\int _{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y)dxdy=\int _{c}^{d}\left[ \int _{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}f(x,y)dx\right] dy.$

Calcule $\int _{0}^{2}\int _{x^{2}}^{2x}\left( x^{3}+4y\right) dydx.$

Solução: Por definição

	$\displaystyle \int _{0}^{2}\left[ \int _{x^{2}}^{2x}\left( x^{3}+4y\right) dy\right] dx$	$\displaystyle =\int _{0}^{2}\left[ x^{3}y+4\frac{y^{2}}{2}\right] _{x^{2}}^{2x}dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2}\left[ \left( x^{3}\left( 2x\right) +2(2x)^{2}\right) -\left( x^{3}x^{2}+2\left( x^{2}\right) ^{2}\right) \right] dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2}\left[ 8x^{2}-x^{5}\right] dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ 8\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{6}}{6}\right] _{0}^{2}=\frac{32}{3}.$

Calcule $\int _{1}^{3}\int _{\frac{\pi }{6}}^{y^{2}}2y\cos xdxdy.$

Solução: Temos que

	$\displaystyle \int _{1}^{3}\int _{\frac{\pi }{6}}^{y^{2}}2y\cos xdxdy$	$\displaystyle =\int _{1}^{3}2y\left[ \operatorname {sen}x\right] _{\frac{\pi }{6}}^{y^{2}}dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{1}^{3}2y\left[ \operatorname {sen}y^{2}-\operatorname {sen}\frac{\pi }{6}\right] dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{1}^{3}\left( 2y\operatorname {sen}y^{2}-y\right) dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ -\cos y^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right] _{1}^{3}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-4-\cos 9+\cos 1.$

Seja $R$ uma região do tipo $R_{x},$ ou seja, uma região definida por

$R_{x}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb {R}^{2}:g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x),\ a\leq x\leq b\ \right\}$

ou do tipo $R_{y},\,$ isto é, uma região definida por

$R_{x}=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb {R}^{2}:h_{1}(y)\leq x\leq h_{2}(y),\ c\leq y\leq d\ \right\}$

então temos que

${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA=\int _{a}^{b}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}\left( x\right) }f(x,y)dydx$

${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA=\int _{c}^{d}\int _{h_{1}(y)}^{h_{2}\left( y\right) }f(x,y)dxdy.$

Seja $R$ a região do plano-xy delimitada pelos gráficos de $y=\operatorname {sen}x$ e $y=\cos x$ com $x$ variando de $0$ a $\frac{\pi }{4}.$ Calcule ${\displaystyle \iint \limits _{R}} (y+1)dA.$

Solução: Temos que

	$\displaystyle {\displaystyle \iint \limits _{R}} (y+1)dA$	$\displaystyle =\int _{0}^{\frac{\pi }{4}}\int _{\operatorname {sen}x}^{\cos x}(y+1)dydx=\int _{0}^{\frac{\pi }{4}}\left[ \frac{y^{2}}{2}+y\right] _{\operatorname {sen}x}^{\cos x}dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{\frac{\pi }{4}}\left[ \frac{\cos ^{2}x}{2}+\cos x-\frac{\operatorname {sen}^{2}x}{2}-\operatorname {sen}x\right] dx$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\left[ \frac{1}{4}\operatorname {sen}2x+\operatorname {sen}x+\cos x\right] _{0}^{\frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}-\frac{3}{4}.$