1 Integrais Duplas

Considere a figura abaixo.

Temos um retângulo $W$ . Dividimos $W$ em retângulos menores. A totalidade das subregiões retangulares fechadas inteiramente contidas em $R$ constitui uma particão interior de $R.$ Designando por $R_{1},$ $R_{2},$ $\cdots ,$ $R_{n},$ essas subregiões retangulares, então a particão interior é $P=\{ R_{i},$ $i=1,\cdots ,n\} .$ O comprimento da maior diagonal das $R_{i}$ será denotada por $\left\| P\right\|$ e chamada norma da particão $P.$ A área de $R_{i}$ denotamos por $\Delta A_{i}.$

Seja $f$ uma funcão de duas variáveis definida numa região $R$ e $P$ $=\{ R_{i},$ $i=1,\cdots ,n\}$ uma particão de $R$ . Uma soma de Riemann de $f$ para $P$ é qualquer soma da forma

$\sum _{i=1}^{n}f(u_{i},v_{i})\Delta A_{i}$

onde $(u_{i},v_{i})$ está em $R_{i}.$

Sejam $f$ uma função de duas variáveis definida numa região $R$ e $L$ um número real. A afirmação

$\lim _{\left\| P\right\| \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(u_{i},v_{i})\Delta A_{i}=L$

significa que, dado $\varepsilon >0$ arbitrário, existe $\delta >0,$ tal que se $P=\{ R_{i}\}$ é uma partição interior de $R$ com $\left\| P\right\| <\delta ,$ então

$\left| \sum _{i=1}^{n}f(u_{i},v_{i})\Delta A_{i}-L\right| <\varepsilon$

para qualquer escolha de $(u_{i},v_{i})$ em $R_{i}.$

Seja $f$ uma função de duas variáveis definida em $R$ . A integral dupla de $f$ sobre $R,$ é dada por

$\iint _{R}f(x,y)dA=\lim _{\left\| P\right\| \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(u_{i},v_{i})\Delta A_{i}$

desde que o limite exista.

Seja $f$ cont $\'{\i }$ nua $\$ com $f(x,y)\geq 0,$ para todo $\left( x,y\right) \in R$ (região de definição de $f$ ). O volume do sólido compreendido entre o gráfico de $z=f(x,y)$ e acima de $R$ é

$V={\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA.$

Se $f(x,y)<0$ em $R,$ a integral dupla de $f$ sobre $R$ é o negativo do volume sólido situado acima do gráfico de $f$ e sob a região $R.$

Seja $f$ uma função integrável e $c$ uma constante real qualquer. Temos que

(i) ${\displaystyle \iint \limits _{R}} cf(x,y)dA=c{\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA.$

(ii) ${\displaystyle \iint \limits _{R}} \left( f(x,y)+g(x,y)\right) dA={\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA+{\displaystyle \iint \limits _{R}} g(x,y)dA.$

(iii) Se $R$ é a união de duas regiões não superpostas $R_{1}$ e $R_{2}$ então

${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA={\displaystyle \iint \limits _{R_{1}}} f(x,y)dA+{\displaystyle \iint \limits _{R_{2}}} f(x,y)dA.$

(iv) Se $f(x,y)\geq 0$ em $R$ então ${\displaystyle \iint \limits _{R}} f(x,y)dA\geq 0.$