4.6 Cálculo de Algumas Séries de Fourier

I ) Seja $f_{1}:\mathbb {R\rightarrow R}$ periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ e definida por $f_{1}\left( x\right) =x,$ para $-L\leq x<L.$ Como $f_{1}$ é $\'{\i }$ mpar, teremos uma série de senos cujos coeficientes são:

$a_{n}=0;\ b_{n}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} x\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}dx.$

fazendo a mudança de variável $y=\dfrac {n\pi x}{L},$ obtemos:

$b_{n}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \dfrac {L}{n\pi }y\operatorname{sen}\left( y\right) \dfrac {L}{n\pi }dy=\dfrac {2L}{n^{2}\pi ^{2}}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y\operatorname{sen}\left( y\right) dy.$

Integrando por partes, temos

	$\displaystyle {\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y\operatorname{sen}\left( y\right) dy$	$\displaystyle =\left[ -y\cos y\right] _{0}^{n\pi }+{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \cos \left( y\right) dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-n\pi \cos \left( n\pi \right) -\left( 0\right) +\left[ \operatorname{sen}\left( y\right) \right] _{0}^{n\pi }=-n\pi \cos \left( n\pi \right)$

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$b_{n}=\dfrac {2L}{n^{2}\pi ^{2}}\left( -n\pi \cos \left( n\pi \right) \right) \Rightarrow b_{n}=\dfrac {2L}{n\pi }\left( -\cos \left( n\pi \right) \right) ,$

como

$\ \left\{ \begin{array}[c]{l}\text {para\ \ }n\ \text {\'{\i }mpar, }\cos \left( n\pi \right) =-1\\ \text {para\ \ }n\text { par, }\cos \left( n\pi \right) =1 \end{array} \right.$

então

$b_{n}=\dfrac {2L}{n\pi }\left( -1\right)^{n+1}.$

Portanto a série de Fourier da função $f_{1}$ é:

$f_{1}\left( x\right) \sim \dfrac {2L}{\pi }\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right)^{n+1}}{n}.\operatorname{sen}\dfrac {n\pi x}{L}$

e seu gráfico é:

$\includegraphics[ height=2.2309in, width=3.9525in ]{Figura24.eps}$

Figure 4.4: Gráfico da função $f_{1}$

II ) Seja $f_{2}:\mathbb {R\rightarrow R}$ periódica de per $\'{\i }$ odo $2L$ e definida por

$f_{2}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}[c]{c}L-x,\text { para }0\leq x\leq L;\\ L+x,\text { para }-L\leq x\leq 0 \end{array} \right.$

Como $f_{2}$ é uma função par, temos uma série de cossenos, cujos coeficientes são:

	$\displaystyle a_{0}$	$\displaystyle =\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} \left( L-x\right) dx=\frac{2}{L}\left[ Lx-\dfrac {x^{2}}{2}\right] _{0}^{L}$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\frac{2}{L}\left( L^{2}-\dfrac {L^{2}}{2}\right) -0=\dfrac {2}{L}\dfrac {L^{2}}{2}=L;$

$a_{n}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} \left( L-x\right) \cos \dfrac {n\pi x}{L}dx$

fazendo a mudança de variável $y=\dfrac {n\pi x}{L},$ obtemos:

$a_{n}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \left( L-\dfrac {L}{n\pi }y\right) \cos \left( y\right) \dfrac {L}{n\pi }dy$

$=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} L\left( \dfrac {n\pi -y}{n\pi }\right) \cos \left( y\right) \dfrac {L}{n\pi }dy=$

$=\dfrac {2L}{n^{2}\pi ^{2}}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \left( n\pi -y\right) \cos \left( y\right) dy$

Integrando por partes a integral acima, temos

	$\displaystyle {\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \left( n\pi -y\right) \cos \left( y\right) dy$	$\displaystyle =\left[ \left( n\pi -y\right) \operatorname{sen}\left( y\right) \right] _{0}^{n\pi }$
	$\displaystyle -{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} -\operatorname{sen}\left( y\right) dy$	$\displaystyle =0-0+\left[ -\cos \left( y\right) \right] _{0}^{n\pi }$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-\cos \left( n\pi \right) -\left( -\cos 0\right)$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =1-\cos \left( n\pi \right) ,$

Logo,

$a_{n}=\dfrac {2L}{n^{2}\pi ^{2}}\left( 1-\cos \left( n\pi \right) \right)$

como

$\\ \left\{ \begin{array}[c]{l}\text {para \ }n\text {\ \ \'{\i }mpar, }\cos \left( n\pi \right) =-1\\ \text {para \ }n\text {\ \ par, }\cos \left( n\pi \right) =1 \end{array} \right.$

então

$a_{n}=\dfrac {2L}{n^{2}\pi ^{2}}\left[ 1-\left( -1\right) ^{n}\right]$

ou seja,para $n=2k,$ temos: $a_{2k}=0,$ $k=1,2,...$ e para $n=2k-1,$ temos:

$a_{2k-1}=\dfrac {2L}{\left( 2k-1\right) ^{2}\pi ^{2}}\left[ 1-\left( -1\right) \right] \Rightarrow a_{2k-1}=\dfrac {4L}{\left( 2k-1\right) ^{2}\pi ^{2}},\ k=1,2,...$

Portanto a série de Fourier da função $f_{2}$ é:

$f_{2}\left( x\right) \sim \dfrac {L}{2}+\dfrac {4L}{\pi ^{2}}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) ^{2}}.\cos \dfrac {\left( 2k-1\right) \pi x}{L}.$

gráfico da função $f_{2}:$

$\includegraphics[ height=2.041in, width=4.8032in ]{Figura23.eps}$

Observe que, em virtude do Teorema de Fourier, o s $\'{\i }$ mbolo $\sim$ pode ser substitu $\'{\i }$ do por $=$ . Usando o Teorema de Fourier, para $x=0$ , obtemos:

$L-0=\dfrac {L}{2}+\dfrac {4L}{\pi ^{2}}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) ^{2}},$

ou seja,

$\dfrac {L}{2}=\dfrac {4L}{\pi ^{2}}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) ^{2}}\Rightarrow \dfrac {\pi ^{2}}{8}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\dfrac {1}{\left( 2k-1\right) ^{2}}=1+\dfrac {1}{3^{2}}+\dfrac {1}{5^{2}}+\dfrac {1}{7^{2}}+...$

III ) Seja $f_{3}:\mathbb {R\rightarrow R}$ periódica de pr $\'{\i }$ odo $2L$ e definida por $f_{3}\left( x\right) =x^{2}$ para $-L\leq x\leq L.$ Como $f_{3}$ é par, teremos uma série de cossenos cujos coeficientes são:

$a_{0}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} x^{2}dx=\dfrac {2}{L}\left[ \dfrac {x^{3}}{3}\right] _{0}^{L}=\dfrac {2}{L}\left( \dfrac {L^{3}}{3}\right) -0=2\dfrac {L^{2}}{3};$

$a_{n}=\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{L}} x^{2}\cos \dfrac {n\pi x}{L}dx.$

fazendo a mudança de variável $y=\dfrac {n\pi x}{L},$ obtemos:

	$\displaystyle a_{n}$	$\displaystyle =\dfrac {2}{L}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} \left( \dfrac {L}{n\pi }y\right) ^{2}\cos \left( y\right) \dfrac {L}{n\pi }dy=$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\dfrac {2}{L}\dfrac {2L^{3}}{n^{3}\pi ^{3}}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y^{2}\cos \left( y\right) dy=\dfrac {2L^{2}}{n^{3}\pi ^{3}}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y^{2}\cos \left( y\right) dy$

Integrando por partes, temos

	$\displaystyle {\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y^{2}\cos \left( y\right) dy$	$\displaystyle =\left[ y^{2}\operatorname{sen}\left( y\right) \right] _{0}^{n\pi }-{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} 2y\operatorname{sen}\left( y\right) dy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =0-0-{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} 2y\operatorname{sen}\left( y\right) dy,$

da $\'{\i }$ ,

$a_{n}=-\dfrac {4L^{2}}{n^{3}\pi ^{3}}{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y\operatorname{sen}\left( y\right) dy$

Integrando novamente por partes, obtemos

	$\displaystyle {\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} y\operatorname{sen}\left( y\right) dy$	$\displaystyle =\left[ -y\cos \left( n\pi \right) \right] _{0}^{n\pi }-{\displaystyle \int _{0}^{n\pi }} -\cos ydy$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-n\pi \cos \left( n\pi \right) -0+\left[ \operatorname{sen}y\right] _{0}^{n\pi }$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =-n\pi \cos \left( n\pi \right)$

Logo,

$a_{n}=-\dfrac {4L^{2}}{n^{3}\pi ^{3}}\left[ -n\pi \cos \left( n\pi \right) \right] =\dfrac {4L^{2}}{n^{3}\pi ^{3}}\left[ \cos \left( n\pi \right) \right] =\dfrac {4L^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\left( -1\right) ^{n}$

Portanto a série de Fourier da função $f_{3}$ é:

$f_{3}\left( x\right) \sim \dfrac {L^{2}}{3}+\dfrac {4L^{2}}{\pi ^{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}}\cos \dfrac {n\pi x}{L}.$

O gráfico da função $f_{3}$ é dado pela figura 4.5.

$\includegraphics[ height=2.2528in, width=4.8308in ]{Figura12.eps}$

Figure 4.5: Gráfico da função $f_{3}$

Observe que, de fato, tem-se $=$ em vez de $\sim$ , como consequência do teorema de Fourier. Usando o Teorema de Fourier para $x=L$ , obtemos:

$L^{2}=\dfrac {L^{2}}{3}+\dfrac {4L^{2}}{\pi ^{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}},$

pois $\left( -1\right) ^{n}$ e $\cos n\pi$ sempre terão o mesmo sinal e assim, pela multiplicação dos dois termos, sempre teremos $+1.$

Ou seja,

$L^{2}-\dfrac {L^{2}}{3}=\dfrac {4L^{2}}{\pi ^{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}}\Rightarrow \dfrac {2L^{2}}{3}=\dfrac {4L^{2}}{\pi ^{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}}\Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac {\pi ^{2}}{6}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n^{2}}=1+\dfrac {1}{2^{2}}+\dfrac {1}{3^{2}}+\dfrac {1}{4^{2}}+...$