12.1 Teorema de Green na forma vetorial

Seja $F(x,y)=M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}+0\mathbf{k}$ , o rotacional de $F$ é dado por

$\nabla \times F=\left\vert \begin{array}[c]{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ M & N & 0 \end{array} \right\vert =0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+\left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) \mathbf{k}$

seja $s$ o parâmetro comprimento de arco para $C,$ consideremos o vetor tangente unitário

$T=\frac{dx}{ds}\mathbf{i}+\frac{dy}{ds}\mathbf{j}+\frac{dz}{ds}\mathbf{k}$

assim o teorema de Green toma a seguinte forma.

Teorema de Green: ${\displaystyle \oint \limits _{C}} F\cdot T\ ds={\displaystyle \iint \limits _{R}} \left( \nabla \times F\right) \cdot \mathbf{k}\ dA.$