11.1 Representação paramétrica de uma superf $\'{\i }$ cie

Representação Impl $\'{\i }$ cita: $S=\left\{ \left( x,y,z\right) :\ F(x,y,z)=0\right\} .$ Exemplo: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ (superf $\'{\i }$ cie esférica)

Representação expl $\'{\i }$ cita: $z=f(x,y).$ Exemplo: $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ e $z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ (neste caso, temos a semi-esfera superior e a inferior, respectivamente.)

Representação Paramétrica: $x=X(u,v),\ y=Y(u,v),\ z=Z(u,v).$ $\left( u,v\right)$ varia num conjunto conexo bidimensional $T$ no plano-uv. Os pontos $(x,y,z)$ correspondem a porções de superf $\'{\i }$ cie no espaço- $xyz.$

Representação Paramétrica Vetorial:

$\mathbf{r}\left( u,v\right) =X\left( u,v\right) \mathbf{i}+Y\left( u,v\right) \mathbf{j}+Z\left( u,v\right) \mathbf{k,\ }\left( u,v\right) \in T$

$\includegraphics[ trim=0.000000in 0.000000in 0.035984in 0.000000in, height=2.1223in, width=4.6795in ]{Figura7.eps}$

Exemplo 1: Representação paramétrica de uma esfera

$\begin{equation} x=a\cos u\cos v,\ \ y=a\operatorname {sen}u\cos v,\ z=a\operatorname {sen}v \label{sup1}\end{equation}$

(7)

da $\'{\i }$ obtemos

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

se $\left( u,v\right)$ varia no retângulo $T=\left[ 0,2\pi \right] \times \left[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}\right]$ os pontos determinados (7) descrevem toda a esfera. O hemisfério superior é a imagem de um retângulo $\left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\dfrac {\pi }{2}\right]$ e o inferior a imagem de $\left[ 0,2\pi \right] \times \left[ -\dfrac {\pi }{2},0\right] .$

$\includegraphics[ height=2.4915in, width=5.7449in ]{Figura9.eps}$

Exemplo 2: Representação vetorial de um cone

$\mathbf{r}\left( u,v\right) =v\operatorname {sen}\alpha \cos u\mathbf{i}+v\operatorname {sen}\alpha \operatorname {sen}u\mathbf{j}+v\cos \alpha \mathbf{k}$

onde $v$ é a distância do vértice ao ponto $\left( x,y,z\right)$ no cone, $u$ é o ângulo polar e $\alpha$ $\$ é ângulo do vértice.

$\includegraphics[ height=2.5201in, width=4.1295in ]{Figura10.eps}$

A imagem de $T$ através de $\mathbf{r}$ é a superf $\'{\i }$ cie paramétrica e representamos por $\mathbf{r}(T).$ Se a função $\mathbf{r}$ é injetiva em $T,$ a imagem $\mathbf{r}(T)$ se denominará superf $\'{\i }$ cie paramétrica simples. Em tal caso, pontos distintos de $T$ se aplicam em pontos distintos da superf $\'{\i }$ cie. Em particular, toda curva fechada simples em $T$ se aplica numa curva fechada simples situada na superf $\'{\i }$ cie.

Uma superf $\'{\i }$ cie paramétrica $\mathbf{r}(t)$ pode degenerar-se num ponto ou em uma curva. Por exemplo, $X(u,v)=u+v,\ Y(u,v)=(u+v)^{2},\ Z(u,v)=(u+v)^{3},$ sendo $T=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] .$ Escrevendo $t=u+v,$ obtemos a curva parametrizada por $x=t,$ $y=t^{2},$ $z=t^{3},\ 0\leq t\leq 2.$

11.1 Representação paramétrica de uma superfcie

11.1 Representação paramétrica de uma superf $\'{\i }$ cie