8 Comprimento de arco

Seja $C$ uma curva suave dada parametricamente por

$x=f(t),\ y=g(t),\ \ a\leq t\leq b.$

Suponhamos que, além disso, que $C$ não intercepta a si própria, isto é, que valores diferentes de $t$ entre $a$ e $b$ determinam diferentes pontos de $C.$ O comprimento de $C$ de $P(a)$ e $P(b)$ é dado por

$L=\int _{a}^{b}\sqrt{\left( f^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(t)\right) ^{2}}dt.$

Seja $P=\{ a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b\} ,$ $\Delta t_{k}=t_{k}-t_{k-1},$ $P_{k}(f(t_{k}),g(t_{k}))$ $\in C,\ \$ correspondente a $t_{k},$ temos que a distância de $P_{k-1}$ a $P_{k}$ é dada por

$d(P_{k-1},P_{k})=\sqrt{\left( f(t_{k})-f(t_{k-1})\right) ^{2}+\left( g(t_{k})-g(t_{k-1})\right) ^{2}}.$

Logo, o comprimento da poligonal que liga os pontos de $P_{0}$ a $P_{k}$ é

$L_{P}=\sum _{k=1}^{n}d(P_{k-1},P_{k}),$

o comprimento da curva será

$L=\lim _{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L_{P}.$

Usando o teorema do valor médio temos

$\frac{f(t_{k})-f(t_{k-1})}{t_{k}-t_{k-1}}=f^{\prime }(w_{k})\Delta t_{k}$

$\frac{g(t_{k})-g(t_{k-1})}{t_{k}-t_{k-1}}=g^{\prime }(w_{k}^{\ast })\Delta t_{k}$

desse modo

$d(P_{k-1},P_{k})=\sqrt{\left( f^{\prime }(w_{k})\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(w_{k}^{\ast })\right) }\Delta t_{k}$

e assim

$L=\lim _{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L_{P}=\lim _{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\sqrt{\left( f^{\prime }(w_{k})\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(w_{k}^{\ast })\right) }\Delta t_{k}$

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$L=\int _{a}^{b}\sqrt{\left( f^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(t)\right) }dt.$

Calcule o comprimento de arco da curva C parametrizada por $\mathbf{r}(t)=\frac{t^{2}}{2}\mathbf{i}+\frac{t^{3}}{3}\mathbf{j,}$ com $0\leq t\leq 2$ .

Solucao: O comprimento de arco da curva $C$ é:

$L=\int _{0}^{2}\sqrt{t^{2}+t^{4}}dt=\int _{0}^{2}t\sqrt{1+t^{2}}dt=\frac{1}{2}\int _{1}^{5}\sqrt{u}du=\frac{1}{3}[u^{3/2}]_{1}^{5}=\frac{1}{3}[5^{3/2}-1].$

Um caminho regular é uma curva $C$ contínua representada por uma função vetorial $\mathbf{r}$ : $J\rightarrow \mathbb {R}^{3}$ contínua em $J$ e com derivada $\mathbf{r}^{\prime }$ contínua em $J.$ Um caminho é regular por pedaços se ele é a união finita de caminhos regulares.

Seja $\mathbf{r}$ um caminho com derivada $\mathbf{r}^{\prime }$ contínua no intervalo $J=[a,b].$ A função comprimento de arco $s$ é dado por

$s(t)=\int _{a}^{t}\left\Vert \mathbf{r}^{\prime }(u)\right\Vert du$

A derivada do comprimento de arco é

$s^{\prime }(t)=\left\Vert \mathbf{r}^{\prime }(t)\right\Vert .$

Ou seja, se $\mathbf{r}$ : $J\rightarrow \mathbb {R}^{3}$ é um caminho no plano, por exemplo, então

$\mathbf{r}(t)=g(t)i+h(t)j,\ \ a\leq t\leq b,\ \ J=[a,b],$

desse modo,

$s(t)=\int _{a}^{t}\sqrt{\left( g^{\prime }(u)\right) ^{2}+\left( h^{\prime }(u)\right) ^{2}}du$

$s^{\prime }(t)=\sqrt{\left( g^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( h^{\prime }(t)\right) ^{2}}.$

Se uma curva $C$ regular, representada pela função vetorial $\mathbf{r}$ e parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor tangente $\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ é unitário em cada ponto da curva.

Considere a curva $\overrightarrow {\alpha }$ parametrizada por

$\overrightarrow {\alpha }=\left\{ \begin{array}[c]{c}x=t\\ y=1-t,\ \ 0\leq t\leq 1 \end{array} \right.$

Parametrize essa curva pelo comprimento de arco e note que o vetor tangente $\overrightarrow {\alpha }^{\prime }$ a essa curva, em cada ponto, é unitário.

Solução: Seja

$s=\int _{0}^{t}\sqrt{1+1}dt=\sqrt{2}t$

assim, $t=\dfrac {s}{\sqrt{2}}.$ Temos então que

$\overrightarrow {\alpha }(s)=\left\{ \begin{array}[c]{c}x=\dfrac {s}{\sqrt{2}}\\ y=1-\dfrac {s}{\sqrt{2}},\ \ 0\leq s\leq \sqrt{2}\end{array} \right.$

Daí

$\overrightarrow {\alpha }^{\prime }(s)=\left\{ \begin{array}[c]{c}x=\dfrac {1}{\sqrt{2}}\\ y=-\dfrac {1}{\sqrt{2}},\ \ 0\leq s\leq \sqrt{2}\end{array} \right.$

$\left\Vert \overrightarrow {\alpha }^{\prime }(s)\right\Vert =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1.$

A curva $C$ : $\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+t^{2}\operatorname {sen}\dfrac {1}{t}\mathbf{j,}$ $t\neq 0,$ $\mathbf{r}(0)=0$ não é regular, $0\leq t\leq 1.$

De fato,

$\ \mathbf{r}^{\prime }(t)=\mathbf{i}+\left( 2t\operatorname {sen}\frac{1}{t}-\cos \frac{1}{t}\right) \mathbf{j},\ \ t\neq 0.$

$r^{\prime }(0)$ não existe o que implica em $r^{\prime }$ não regular.

Uma curva tem infinitas parametrizações e também podemos parametrizar a mesma curva $C$ de modo que a orientação dessa curva mude de sentido. Por exemplo, considere a curva $C$ dada por

$C:\left\{ \begin{array}[c]{c}x=t\\ y=t^{2},\ \ 0\leq t\leq 2 \end{array} \right.$

e podemos representar a mesma curva por

$-C:\left\{ \begin{array}[c]{c}x=-t\\ y=t^{2},\ \ -2\leq t\leq 0. \end{array} \right.$

Dois caminhos $\alpha$ e $\beta$ que representam a mesma curva são ditos equivalentes.

Tudo que fizemos até agora, pode ser feito para curvas definidas no espaço, por exemplo, se uma curva $C$ : $x=f(t),\ y=g(t),\ z=h(t),\ \ a\leq t\leq b,$ ou podemos considerar a curva representada por uma função vetorial $\mathbf{r}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k.}$ Então o comprimento da curva $C$ é dado por

$L=\int _{a}^{b}\sqrt{\left( f^{\prime }(t)\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(t)\right) ^{2}+(h^{\prime }(t))^{2}}dt$

e a função comprimento de arco é dada por

$s(t)=\int _{a}^{t}\sqrt{\left( f^{\prime }(u)\right) ^{2}+\left( g^{\prime }(u)\right) ^{2}+(h^{\prime }(u))^{2}}du$

e podemos também considerar a curva parametrizada pelo comprimento de arco $s.$