6 Funções com valores vetoriais

Uma função que associa a cada valor real, um vetor, é chamada uma função com valor vetorial. Denotaremos tais funções por $\mathbf{r}$ ou $\overrightarrow {r}.$

$\mathbf{r}:X\rightarrow Y=\left\{ \text {conjunto de vetores do plano ou do espaço}\right\} ,\ \ X\subset \mathbb {R}\text {.}$

Se $\mathbf{r}$ é uma função vetorial, então para cada $t$ em $X$ $\$ existe um único vetor $\mathbf{r}=\left( x,y,z\right) .$ Como para cada $t,$ existe um valor $\left( x,y,z\right)$ associado a ele, então $x=f(t),$ $y=g(t)$ e $z=h(t),$ onde $f,g$ e $h$ estão definidas em $X$ com valores reais. Logo podemos escrever

$\begin{equation} \mathbf{r}(t)=\left( f(t),g(t),h(t)\right) =f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k} \label{dois}\end{equation}$

(1)

para todo $t$ em $X.$

A recíproca é verdadeira, se $f,g$ e $h$ são funções de $X$ em $\mathbb {R}$ , então podemos definir uma função vetorial $\mathbf{r}(t),$ por meio de $\left( \ref{dois}\right)$ . $\mathbf{r}$ é uma função vetorial se, e somente se, $\mathbf{r}(t)$ puder ser expressa na forma $\left( \ref{dois}\right) .$ O domínio de $\mathbf{r}(t)$ é a interseção dos domínios de $f,g$ e $h.$

Se $\mathbf{r}(t)=3t^{2}\mathbf{i}+2t^{3}\mathbf{j}+\left( t-2\right) \mathbf{k},$ determine $\mathbf{r}(1),$ $\mathbf{r}(0).$

Solução:

$\mathbf{r}(1)=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k,\ \ r}(0)=-2\mathbf{k.}$

Uma curva no espaço é um conjunto $\mathcal{C}$ de ternos ordenados da forma

$(f(t),g(t),h(t))$

onde as funções $f,g$ e $h$ são contínuas num intervalo $I$ da reta $.$ O gráfico de $\mathcal{C}$ num sistema de coordenadas retangulares é o conjunto de todos os pontos $P\left( f(t),g(t),h(t)\right)$ que correspondem aos ternos ordenados em $\mathcal{C}$ . As equações

$\begin{equation} x=f(t),\ y=g(t),\ z=h(t) \label{tres}\end{equation}$

(2)

onde $t$ pertence a $I,$ são as equações paramétricas de $\mathcal{C}$ . Se $I=[a,b]$ e $\mathcal{C}$ não se auto intercepta, exceto possivelmente, no ponto $P\left( a\right) =P(b),$ então pode-se mostrar que o comprimento $L$ de $\mathcal{C}$ do ponto $P(a)$ ao ponto $P(b)$ é dado por

$\begin{equation} L=\int _{a}^{b}\sqrt{(f^{\prime }(t))^{2}+(g^{\prime }(t))^{2}+\left( h^{\prime }(t)\right) ^{2}}dt=\int _{a}^{b}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dy}{dt}\right) ^{2}+\left( \frac{dz}{dt}\right) ^{2}}dt. \label{quatro}\end{equation}$

(3)

Considere uma função vetorial $\mathbf{r,}$ onde $\mathbf{r}(t)=\left( f(t),g(t),h(t)\right) .$ O gráfico de $\mathbf{r}(t)$ pode ser descrito na figura abaixo.

Seja $\mathbf{r}(t)=a\cos t\ \mathbf{i}+b\operatorname {sen}t\mathbf{\ j}+bt\ \mathbf{k}$ , $t\in \mathbb {R}$ , e seja $\overrightarrow {OP}$ o vetor posição de $\mathbf{r}(t).$

(a) Esboce o gráfico da curva $\mathcal{C}$ descrita por $P$ ao variar $t.$

(b) Determine o comprimento de $\mathcal{C}$ entre os pontos correspondentes a $t=0$ e $t=2\pi .$

Solução: O gráfico da curva $\mathcal{C}$ é dado pela figura.

(b) O comprimento de $\mathcal{C}$ entre os pontos correspondentes a $t=0$ e $t=2\pi ,$ é calculado por

	$\displaystyle L$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\sqrt{a^{2}\operatorname {sen}^{2}t+a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}}dt$
	$\displaystyle$	$\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\sqrt{a^{2}+b^{2}}dt=2\pi \sqrt{a^{2}+b^{2}}.$