Cálculo Diferencial e Integral 3
Cálculo Diferencial e Integral 3 : Coordenadas Cil\'{\i }ndricas e Esféricas

4 Coordenadas Cil\'{\i }ndricas e Esféricas

Coordenadas cil\'{\i }ndricas constituem outra maneira de identificar um ponto no espaço. Dado um ponto $P,$ no espaço, sua projeção no eixo-$z$, fornece a cota $z,$ e sua projeção no plano fornece coordenadas polares $r$ e $\theta .$ As coordenadas cil\'{\i }ndricas de $P$ são $r,$ $\theta $ e $z.$ Tomando no plano os eixos-$x$ e $y,$ temos as relações $x=r\cos \theta $ e $y=r\sin \theta .$ Se $r_{0}>0,$ então o gráfico da equação $r=r_{0},$ ou equivalentemente, $x^{2}+y^{2}=r_{0}^{2},$ é um cilindro circular reto de raio $r_{0}$ com eixo ao longo do eixo-z. $\ $Se $\theta _{0}$ e $z_{0}$ são números reais, então o gráfico de $\theta =\theta _{0}$ é um plano contendo o eixo-z e o gráfico de $z=z_{0}$ é um plano perpendicular ao eixo-z.

Escreva a equação de $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ em coordenadas cilindricas e esboce o gráfico.

Usando coordenadas cilindricas

  \[ z^{2}=r^{2}\text { ou }z=\pm r. \]    

Escreva a equação em coordenadas retangulares e esboce seu gráfico num sistema de coordenadas xyz.

(a) $z=4r^{2}$ (b) $r=4\operatorname {sen}\theta .$

Solução: (a) Temos que

  \[ z=4\left( x^{2}+y^{2}\right) \ \ \text {(parabol\'{o}ide)} \]    

(b) $r=4\operatorname {sen}\theta $ pode ser escrito em coordenadas retangulares da seguinte forma

  \[ x^{2}+\left( y-2\right) ^{2}=4(cilindrocircularretocentradonoponto\left( 0,2\right) ). \]    
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