3.3 Pontos extremos

Uma função $f$ de duas variáveis tem máximo local em $(a,b)$ se existe uma vizinhança aberta $V$ contendo esse ponto tal que $f(x,y)\leq f(a,b)$ para todo $(x,y)$ em $V.$ De forma análoga, a função $f$ tem mínimo local em $(c,d)$ se existe uma vizinhança aberta $V$ desse ponto tal que $f(x,y)\geq f(c,d)$ para todo $(x,y)$ em $V.$ Se $f(a,b)\geq f(x,y)$ para todo $(x,y)$ no domínio de $f$ então $(a,b)$ será o ponto de máximo global de $f$ e $f(a,b)$ é seu valor máximo, analogamente, se $f(c,d)\leq f(x,y)$ para todo $(x,y)$ no domínio de $f$ então $(c,d)$ será um ponto de mínimo global de $f$ e $f(c,d)$ será seu valor mínimo. Os máximos e mínimos locais de uma função $f$ são os extremos locais de $f,$ os extremos também incluem os máximos e mínimos globais de $f$ . Uma região $R$ do plano-xy é limitada, se é uma subregião de um disco fechado, isto quer dizer, que existe um número real $M$ positivo, tal que

$|x|\leq M, \forall \, x \in R$

Se $f$ é contínua numa região fechada e limitada $R$ então $f$ tem máximo e mínimo em $R$ , isto é, existem pontos $(a,b)$ e $(c,d)$ em $R$ tais que

$f(c,d)\leq f(x,y)\leq f(a,b) \quad \forall \, (x,y)\in R.$

Se $f(x,y)$ tem derivadas parciais primeiras contínuas em $(x_0,y_0)$ e se $f(x_0,y_0)$ é um extremo local de $f$ , então o plano tangente ao gráfico de $z=f(x,y)$ em $(x_0,y_0,z_0)$ é paralelo ao plano-xy e, assim, sua equação é $z=z_0.$ Segue que $f_ x(x_0,y_0)=0$ e $f_ y (x_0,y_0)=0.$

Definição 14. Seja $f$ uma função de duas variáveis. Um par $(a,b)$ é ponto crítico de $f$ se

$f_ x(a,b)=0$ e $f_ y(a,b)=0,$ ou,
$f_ x(a,b)$ ou $f_ y(a,b)$ não existe.

Um máximo ou mínimo de uma função $f$ , podem ocorrer num ponto fronteira de seu domínio $R$ .

Exemplo 48. Seja $f(x,y)=1+x^2+y^2$ , com $x^2+y^2\leq 4$ . Ache os extremos de $f$ .

Solução: Por definição os pontos críticos de $f$ são soluções do seguinte sistema

$\begin{cases} f_ x(x,y)=0 \\ f_ y(x,y)=0 \end{cases} \quad \text {ou}\quad \begin{cases} 2x=0 \\ 2y=0 \end{cases}$

que tem como solução $(x,y)=(0,0)$ , logo, $f(0,0)=1$ é o único extremo da função $f$ e notamos que esse valor é o valor mínimo dessa função e, portanto, $(0,0)$ é o ponto de mínimo local de $f$ , que é também o mínimo global de $f$ , já que, $f(x,y)=1+x^2+y^2>1$ se $(x,y)\neq (0,0)$ . Para achar possíveis extremos na fronteira, investigamos pontos $(a,b)$ que estejam na fronteira de $R$ . Um desses pontos é o $(0,2)$ que conduz a $f(0,2)=5$ . Que é o valor máximo, pois,

$1+x^2+y^2\leq 1+4=5,$

para todo $(x,y)$ tal que $x^2+y^2\leq 4$ . Assim, todos os pontos de fronteira de $f$ serão pontos de màximo de $f$ .

Exemplo 49. Se $f(x,y)=x^2-y^2$ e o domínio de $f$ é o $\mathbb {R}^2$ , ache os extremos de $f$ .

Solução: Por definição, os pontos críticos são soluções do seguinte sistema:

$\begin{cases} f_ x(x,y)=0 \\ f_ y(x,y)=0 \end{cases} \quad \text {ou}\quad \begin{cases} 2x=0 \\ -2y=0 \end{cases}$

o único extremo local possível é o $(0,0)$ . Mas se $x\neq 0$ , então $f(x,0)=x^2>0$ , e se $y\neq 0$ , então $f(0,y)=-2y<0$ . Qualquer disco aberto no plano-xy que contenha o $(0,0)$ contém pares nos quais os valores funcionais são maiores do $f(0,0)$ e também pares em que os valores de $f$ são menores que $f(0,0).$ Logo, $f$ não possui ponto de máximo nem ponto de mínimo e o ponto $(0,0)$ é chamado ponto de sela.

Definição 15. Seja $f$ uma função de duas variáveis com derivadas parciais segundas contínuas, ou seja, $f\in C^2$ . O discriminante $D$ de $f$ é

$D(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-[f_{xy}(x,y)]^2.$

Teorema 22 (Teste para extremos locais). Seja $f$ uma função de duas variáveis com derivadas parciais segundas contínuas no disco aberto $R$ que contém $(a,b).$ Se $f_ x(a,b)=f_ y(a,b)=0$ e $D(a,b)>0$ , então $f(a,b)$ é

máximo local de $f$ se $f_{xx}(a,b)<0;$
mínimo local de $f$ se $f_{xx}(a,b)>0.$

Note que $D(a,b)>0$ implica em $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)>[f_{xy}(a,b)]^2$ o que implica em $f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)>0$ , logo, se $f_{xx}(a,b)>0$ devemos ter também que $f_{yy}(a,b)>0$ e que se $f_{xx}(a,b)<0$ então $f_{yy}(a,b)<0.$

Exemplo 50. Seja $f(x,y)=2x^2-3xy+2y^2+2y$ . Ache os pontos de extremos de $f$ .

Solução: Temos que

$f_ x=4x-3y \quad \text {e}\quad f_ y=-3x+4y+2$

assim temos o sistema

$\begin{cases} 4x-3y=0\\ -3x+4y+2=0 \end{cases}$

então o único ponto crítico dessa função é $(x,y)=(-\dfrac {6}{7},\dfrac {-8}{7}).$ Agora temos que

$f_{xx}(-6/7,-8/7)=4, \quad f_{yy}=4, \quad f_{xy}=-3$

logo,

$D(x,y)=4.4-(-3)^2=16-9=7>0$

e como $f_{xx}(-6/7,-8/7)=4>0$ então o ponto $(-6/7,-8/7)$ é ponto de mínimo local de $f$ .

Exemplo 51. Ache os extremos da função $f(x,y)=2x^2-3xy+2y^2+2y$ na região retangular $R=\{ (x,y):-1\leq x\leq 1, \quad -2\leq y\leq 2\}$ .

Solução: Note que o ponto $(-6/7,-8/7)$ pertence a essa região retangular, e como vimos no exemplo 50 esse ponto é o único ponto crítico dessa função, portanto, dentro dessa região só temos um ponto de mínimo local que é o ponto $(-6/7,-8/7)$ . Analisemos agora os pontos de fronteira de $R$ , a fronteira de $R$ consiste de quatro segmentos retilíneos, $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ e $C_4$ que formam o retângulo. Seja $C_1$ o segmento correspondente a $x=-1$ e $-2\leq y\leq 2$ , temos, para esse segmento, que $f(-1,y)=2(-1)^2-3(-1)y+2y^2+2y=2+5y+2y^2$ . Assim obtemos a função $h(y)=2+5y+2y^2$ definida para $-2\leq y\leq 2.$ Procurando um ponto crítico para $h(y)$ temos $h’(y)=5+4y=0$ o que implica em $y=-5/4$ e, como, $h”(y)=4>0$ então esse ponto é ponto de mínimo local no intervalo $-2\leq y\leq 2$ assim, o ponto $(-1, -5/4)$ é, a priori, um ponto de mínimo local em $R$ . Escolhamos agora o segmento $C_2$ correspondente a $x=1$ e $-2\leq y\leq 2$ obtemos $g(y)=f(1,y)=2-y+2y^2$ , procurando um ponto crítico de $g$ temos $g’(y)=-1+4y=0$ , assim, $y=1/4$ e $g”(y)=4>0$ , assim o ponto $(1,1/4)$ é, a priori, ponto de mínimo local de $f$ . Consideremos agora o segmento $C_3$ correspondente a $y=-2$ e $-1\leq x\leq 1$ temos $h(x)=2x^2+6x+4$ , desse modo, temos que $h’(x)=4x+6=0$ obtemos o ponto $x=-3/2$ que está fora do intervalo $-1\leq x\leq 1$ , o que significa que estamos fora da região $R$ . Finalmente, considerando o segmento $C_4$ correspondente a $y=2$ e $-1\leq x\leq 1$ temos $g(x)=2x^2-6x+12$ e daí, $g’(x)=4x-6=0$ o que implica em $x=3/2$ que está fora de $R$ . Agora vamos considerar uma tabela com todos os pontos encontrados e seus respectivos valores de $f$ incluindo os quatro pontos que são os vértices da região $R$ .

	Pontos	Valor de $f(x,y)$	Pontos Extremos
Ponto interior de $R$	$(-6/7,-8/7)$	$-56/49$	Mínimo local (global)
Ponto no segmento $C_1$	$(-1,-5/4)$	${-9}/{8}$	Mínimo local em $C_1$
Ponto no segmento $C_2$	$(1,1/4)$	${15}/{8}$	Mínimo local em $C_2$
Vértice 1	$(-1,-2)$	$0$
Vértice 2	$(-1,2)$	$20$	Máximo global
Vértice 3	$(1,-2)$	$12$
Vértice 4	$(1,2)$	$8$

Table 3.1: Tabela de Extremos de $f$

Um ponto $P(a,b,f(a,b))$ é um ponto de sela de uma função $f(x,y)$ se $f_ x(a,b)=0$ , $f_ y(a,b)=0$ e, se existe uma bola $B_ r(a,b)$ , tal que $f(x,y)\leq f(a,b)$ para algum ponto $(x,y)\in B_ r(a,b)$ e $f(x,y)\geq f(a,b)$ para algum ponto $(x,y)\in B_ r(a,b)$ .

Teorema 23. Seja $f(xx,y)$ uma função de classe $C^2$ num disco aberto $B_ r(a,b)$ . Se $f_ x(a,b)=0$ , $f_ y(a,b)=0$ e $D(a,b)<0$ então o ponto $P(a,b,f(a,b))$ é ponto de sela do gráfico de $f$ .

Exemplo 52. Se $f(x,y)=x^2-2xy+y^3-y$ , ache os extremos locais e os pontos de sela de $f$ , se existirem.

Solução: As derivadas parciais primeiras de $f$ são

$f_ x=2x-2y, \quad f_ y=-2x+3y^2-1$

daí, temos que o sistema

$\begin{cases} 2x-2y=0\\ -2x+3y^2-1=0 \end{cases}$

o que implica que os pontos críticos de $f$ são:

$(1,1) \quad (-1/3,-1/3)$

temos que

$f_{xx}(x,y)=2, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad f_{xy}=-2$

assim

$D(x,y)=12y-4$

então temos a tabela

Pontos críticos	Discriminante	Valor de $f_{xx}(x,y)$	Conclusão
(1,1)	$D(1,1)=8>0$	$f_{xx}(1,1)=2>0$	$f(1,1)=-1$ é o valor mínimo local
$(-\dfrac {1}{3},-\dfrac {1}{3})$	$D(-\dfrac {1}{3},-\dfrac {1}{3})=-8<0$	irrel	$(-\dfrac {1}{3},-\dfrac {1}{3},f(-\dfrac {1}{3},-\dfrac {1}{3})$ é um ponto de sela

Table 3.2: Tabela pontos de sela e extremos de $f$