3.2 Plano Tangente e Reta Normal

Suponhamos que uma superfície $S$ seja o gráfico da equação $F(x,y,z)=0$ e que $F$ tenha derivadas parciais primeiras contínuas. Seja $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ um ponto de $S$ no qual $F_ x$ , $F_ y$ e $F_ z$ não sejam simultaneamente nulos. uma reta tangente a $S$ em $P_0$ é, por definição, uma reta $L$ tangente a qualquer curva $C$ de $S$ que contenha $P_0.$ Se $C$ admite a parametrização

$x=f(t), \quad y=g(t),\quad z=h(t)$

para $t$ em algum intervalo $I$ e se $r(t)$ é o vetor posição de $P(x,y,z)$ , então

$r(t)=f(t)\vec{i}+g(t)\vec{j}+h(t)\vec{k}.$

Logo,

$r’(t)=f’(t)\vec{i}+g’(t)\vec{j}+h’(t)\vec{k}$

é um vetor tangente a $C$ em $P(x,y,z).$ Para cada $t$ o ponto $(f(t),g(t),h(t))$ de $C$ também pertence a $S$ e, portanto,

$F(f(t),g(t),h(t))=0.$

Fazendo

$W=F(x,y,z)$

com $x=f(t)$ , $y=g(t)$ , e $z=h(t)$ , então, pela regra da cadeia, e como $W=0$ para todo $t$ , temos

$\dfrac {dW}{dt}=\dfrac {\partial W}{\partial x}\dfrac {dx}{dt}+\dfrac {\partial W}{\partial y}\dfrac {dy}{dt}+\dfrac {\partial W}{\partial z}\dfrac {dz}{dt}=0;$

Assim, para todo ponto $P(x,y,z)$ de $C,$

$F_ x(x,y,z)f’(t)+F_ y(x,y,z)g’(t)+F_ z (x,y,z)h’(t)=0,$

ou equivalentemente

$\nabla F(x,y,z) \cdot r’(t)=0.$

Em particular, se $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ corresponde a $t=t_0$ então

$\nabla F|_{P_0} \cdot r’(t_0)=\nabla F(x_0,y_0,z_0) \cdot r’(t_0)=0$

Como $r’(t_0)$ é um vetor tangente a $C$ em $P_0$ , isto implica que o vetor $\nabla F|_{P_0}$ é ortogonal a toda reta tangente $l$ a $S$ em $P_0.$ O plano que passa por $P_0$ com vetor normal $\nabla F|_{P_0}$ é o plano tangente a $S$ em $P_0$ . (Mostramos que toda reta tangente $l$ a $S$ em $P_0$ está no plano tangente em $P_0$ .)

Teorema 19. Seja $F(x,y,z)$ uma função de três variáveis com derivadas parciais primeiras contínuas, e seja $S$ o gráfico de $F(x,y,z)=0$ em $P_0 \in S$ , com $F_ x^2+F_ y^2+F_ z^2 \neq 0$ em $P_0$ então $\nabla F|_{P_0}$ é normal ao plano tangente a $S$ em $P_0$ .

O vetor $\nabla F|_{P_0}$ do teorema 19 é designado como a normal à superfície $S$ em $P_0$ .

Corolário 4. A equação do plano tangente ao gráfico de $F(x,y,)=0$ no ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ é

$F_ x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_ y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_ z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0.$

Podemos também descrever o plano tangente como

$\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot [(x-x_0)\vec{i}+(y-y_0)\vec{j}+(z-z_0)\vec{k}]=0$

Exemplo 44. Ache a equação do plano tangente ao elipsóide $\dfrac {3}{4} x^2+3y^2+z^2=12$ no ponto $P_0(2,1,\sqrt{6}).$

Solução: Para usar o corolário 4 expressamos inicialmente, a equação de superfície na forma $F(x,y,z)=0$ onde

$\begin{equation} \label{supnorm} F(x,y,z)=\dfrac {3}{4}x^2+3y^2+z^2-12=0 \end{equation}$

(3.1)

As derivadas parciais de $F$ são

$F_ x=\dfrac {3}{2}x, \quad F_ y=6y, \quad F_ z=2z$

e, então em $P_0(2,1,\sqrt{6})$ temos

$F_ x(2,1,\sqrt{6})=3, \quad F_ y(2,1,\sqrt{6})=6, \quad F_ z(2,1,\sqrt{6})=2\sqrt{6}$

aplicamos o corolário, obtendo

$3(x-2)+6(y-1)+2\sqrt{6}(z-\sqrt{6})=0$

$3x+6y+2\sqrt{6}z=24$

e o vetor normal à superfície $S$ dada pela equação (3.1) é o vetor

$\nabla F|_{P_0}=\nabla F(2,1,\sqrt{6})=3\vec{i}+6\vec{j}+2\sqrt{6}\vec{k}$

Se $z=f(x,y)$ é a equação de $S$ , e fazendo $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ , então a equação do corolário 4 toma a forma

$f_ x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_ y(x_0,y_0)(y-y_0)+ (-1)(z-z_0)=0$

onde $z_0=f(x_0,y_0)$ .

Teorema 20. A equação do plano tangente ao gráfico de $z=f(x,y)$ no ponto $(x_0,y_0,z_0)$ é

$z-z_0=f_ x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_ y(x_0,y_0)(y-y_0)$

A reta perpendicular ao plano tangente no ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ de uma superfície $S$ é a reta normal a $S$ em $P_0$ .Se $S$ é o gráfico de $F(x,y,z)=0$ , então a normal é paralela ao vetor $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$ .

Exemplo 45. Ache a equação da reta normal ao elipsóide $\dfrac {3}{4} x^2+3y^2+z^2=12$ no ponto $P_0(2,1,\sqrt{6}).$

Solução: Temos que

$\nabla F|_{P_0}=\nabla F(2,1,\sqrt{6})=3\vec{i}+6\vec{j}+2\sqrt{6}\vec{k}$

daí, a reta normal ao elipsóide é

$x=2+3t, \quad y=1+6t, \quad z=\sqrt{6}+2\sqrt{6}t,$

com $t$ variando em $\mathbb {R}.$

Seja $S$ o gráfico da equação $z=f(x,y).$ O plano tangente a $S$ no ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ permite obter uma interpretação geométrica para a diferencial:

$dz=f_ x(x_0,y_0)\Delta x+f_ y(x_0,y_0)\Delta y.$

Como

$\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$

o ponto $P(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0 +\Delta x)$ está em $S.$

Seja $C(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z)$ um ponto no plano tangente, e consideremos os pontos $A(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y,0)$ e $B(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y, z_0).$ Como $C$ está no plano tangente suas coordenadas vericam a equação do plano tangente, isto é,

$z-z_0=f_ x(x_0,y_0)(x_0+\Delta -x_0) x+f_ y(x_0,y_0)(y_0+\Delta y-y_0)$

$=f_ x(x_0,y_0)\Delta x+f_ y(x_0,y_0)\Delta y=dz$

0u seja, $|dz|=\| \overline{BC}\|$ , $|dz|$ é a distância de $B$ ao ponto do plano tangente, diretamente acima (ou abaixo) de $B.$

Suponha que temos uma função $F$ de três variáveis dada por

$w=F(x,y,z)$

se o ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ é um ponto fixo, então o gráfico da equação:

$F(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)$

é a superfície de nível que passa pelo ponto $P_0.$ Em todo ponto dessa superfície o valor de $F$ é sempre o mesmo $w_0=F(x_0,y_0,z_0).$ Pelo teorema 19, $\nabla F|_{P_0}$ , $\nabla F|_{P_1}$ e $\nabla F|_{P_2}$ são vetores normais às suas superfícies correspondentes nos pontos $P_0$ , $P_1$ e $P_2$ , respectivamente.

Vimos que a taxa máxima de variação de $F(x,y,z)$ em $P_0(x_0,y_),z_0)$ ocorre na direção do gradiente de $F$ , nesse ponto, isto é na direção de $\nabla F|_{P_0}$ . Pelo que vimos, esta taxa máxima de variação ocorre na direção que é normal à superfície de nível de $F$ que contém $P_0.$

Teorema 21. Seja $F$ uma função de três variáveis diferenciável em $P_0 (x_0,y_0,z_0),$ e $S$ a superfície de nível de $F$ que contém $P_0$ . Se $\nabla F(x_0,y_0,z_0)\neq 0,$ então este vetor gradiente é normal a $S$ em $P_0.$ Assim a direção da taxa máxima de variação de $F(x,y,z)$ em $P_0$ é normal a $S.$

Exemplo 46. Se $F(x,y,z)=x^2+y^2+z$ esboce a superfície de nível de $F$ que passa pelo ponto $P(1,2,4)$ , diga quem é $\nabla F(1,2,4).$

Solução: As superfícies de nível de $F$ são gráficos de equações da forma

$F(x,y,z)=k, \quad k \quad \text {constante}$

Como $F(1,2,4)=1^2+2^2 + 4=9$ a superfície de nível que passa por $P(1,2,4)$ é o gráfico da equação $F(x,y,z)=9$ , isto é,

$z=9-x^2-y^2.$

Esta superfície é o parabolóide circular com concavidade para baixo e com vértice no ponto $(0,0,9).$

O gradiente de $F$ é:

$\nabla F=2x \vec{i}+ 2y\vec{j}+\vec{k}$

e em $P(1,2,4)$ temos que

$\nabla F(1,2,4)=2(1)\vec{i}+2(2)\vec{j}+\vec{k}=2\vec{i}+4\vec{j}+\vec{k}.$

Exemplo 47. Seja $f(x,y)=x^2+4y^2.$

Trace a curva de nível $C$ de $F$ que passa pelo ponto $P(2,1)$ e esboce $\nabla f(2,1).$
Discuta o significado de (1) em torno do gráfico de $f.$

Solução:

$f(2,1)=2^2+4=8,$ assim $x^2+4y^2=8$ (elipse) e $\nabla f(x,y)=2x\vec{i}+8y\vec{j}$ o que implica em $\nabla f(2,1)=4\vec{i}+8\vec{j}.$
O gráfico de $z=f(x,y)$ é um parabolóide elíptico, a equação $x^2+4y^2=8$ é a curva de nível de $f$ correspondente a $z=8$ e o $\nabla f(2,1)=4\vec{i}+8\vec{j}$ é a direção da taxa máxima de variação de $f$ no ponto $P(2,1)$ .