3.1 Derivada Direcional

Seja $P(x,y)$ um ponto do plano e $Q(x+su_1,y+su_2)$ onde $s\in \mathbb {R}$ , temos então que o vetor $\overrightarrow {PQ}=s\vec{u}$ onde $\vec{u}=(u_1,u_2)$ e consideramos $\vec{u}$ como um vetor unitário. Então

$\| \overrightarrow {PQ}\| =\| s \vec{u}\| =|s|\| \vec{u}\| =|s|$

Se a posição de um ponto $P$ varia de $P$ para $Q$ então o incremento $\Delta w$ de $w=f(x,y)$ é

$\Delta w=f(x+su_1,y+su_2)-f(x,y)$

A taxa média de variação de $f(x,y)$ é

$\dfrac {\Delta w}{s}=\dfrac {f(x+su_1,y+su_2)-f(x,y)}{s}.$

Definição 12. Sejam $w=f(x,y)$ e $\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2 \vec{j}$ um vetor unitário. A derivada direcional de $f$ em $P(x,y)$ na direção de $\vec{u}$ , denotada por $D_ u f(x,y)$ é

$D_ u f(x,y)=\lim _{s\to 0}\dfrac {f(x+su_1,y+su_2)-f(x,y)}{s}.$

Isto dá a taxa de variação de $f(x,y)$ em relação à distância a $P(x,y)$ na direção definida por $\vec{u}.$

Observação 4. Se $\vec{a}$ é um vetor arbitrário na mesma direção do vetor $\vec{u}$ então a derivada direcional $D_ a f=D_ u f$ .

Teorema 16. Se $f$ é uma função diferenciável de duas variáveis e $\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2 \vec{j}$ é um vetor unitário, então

$D_ u f(x,y)=f_ x(x,y)u_1+f_ y(x,y)u_2$

Prova: Consideremos $x$ , $y$ , $u_1$ e $u_2$ como valores fixos (arbitrários), e seja $g$ a função de uma variável definida por

$g(s)=f(x+su_1, y+su_2)$

Pelas definições de derivadas de uma função real e derivada direcional temos

$g’(0)=\lim _{s\to 0} \dfrac {g(s)-g(0)}{s-0}$

$=\lim _{s\to 0} \dfrac {f(x+su_1,y+su_2)-f(x,y)}{s}$

$=D_ u f(x,y)$

Mas considerando

$w=g(s)=f(r,v)$

onde $r=x+su_1$ , $v=y+su_2$ , $w$ é uma função de duas variáveis $r$ e $v$ funções de uma variável $s$ , segue então que

$\dfrac {dw}{ds}=\dfrac {\partial w }{\partial r}\dfrac {dr}{ds}+\dfrac {\partial w }{\partial v}\dfrac {dv}{ds}$

assim temos

$g’(s)=f_ r(r,v)u_1+f_ s(r,v)u_2$

fazendo $s=0$ , então $r=x$ e $v=y$ e pela primeira parte da demonstração

$g’(0)=D_ u f(x,y).$

Logo,

$D_ u f(x,y)=f_ x (x,y)u_1+f_ y (x,y)u_2.$

Observação 5. As derivadas parciais primeiras de $f$ são casos especiais da derivada direcional $D_ u f(x,y).$ Se $\vec{u}=\vec{i}$ então $u_1=1$ e $u_2=0$ . Daí

$D_{\vec{i}} f(x,y)=f_ x(x,y).$

Se $\vec{u}=\vec{j}$ então

$D_{\vec{j}} f(x,y)=f_ y(x,y).$

Exemplo 40. Seja $f(x,y)=x^3y^2.$ Ache a derivada direcional de $f$ no ponto $P(-1,2)$ na direção do vetor $\vec{a}=4\vec{i}-3\vec{j}.$

Solução: Considere o vetor $\vec{a}=4\vec{i}-3\vec{j}$ com ponto inicial $P(-1,2)$ . Queremos determinar $D_ u f(-1,2)$ para o vetor unitário $\vec{u}$ que tem a direção de $\vec{a}.$ Temos que

$\vec{u}=\dfrac {1}{\| a\| }\vec{a}=\dfrac {4}{5}\vec{i}-\dfrac {3}{5}\vec{j}$

Como

$f_ x(x,y)=3x^2y^2, \quad f_ y(x,y)=2x^3y$

Logo, em $P(-1,2)$

$D_{\vec{u}}f(-1,2)=3(-1)^2 2^2 (\dfrac {4}{5})+2(-1)^3 2 (\dfrac {-3}{5})=12$

Podemos expressar a derivada direcional como segue

$D_{\vec{u}}f(x,y)=[f_ x(x,y)\vec{i}+f_ y(x,y)\vec{j}]\cdot [u_1\vec{i}+u_2\vec{j}]$

Definição 13. Seja $f$ uma função de duas variáveis. O gradiente de $f$ é uma função vetorial dada por

$\nabla f(x,y)=f_ x(x,y)\vec{i}+f_ y(x,y)\vec{j}.$

Portanto,

$D_{\vec{u}} f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \vec{u}$

o símbolo $\nabla$ , é um operador diferencial que se define como

$\nabla =\vec{i}\dfrac {\partial }{\partial x}+\vec{j}\dfrac {\partial }{\partial y}$

Se $P_0(x_0,y_0)$ é um ponto específico do plano-xy, costuma-se denotar o vetor gradiente em $P_0$ por $\nabla f|_{P_0}.$ Assim

$\nabla f|_{P_0}=\nabla f(x_0,y_0)=f_ x(x_0,y_0)\vec{i}+f_ y(x_0,y_0)\vec{j}.$

Exemplo 41. Seja $f(x,y)=x^2-4xy$ .

Ache o gradiente de $f$ no ponto $P(1,2)$ e esboce o vetor $\nabla f|_ P.$
Use o gradiente para achar a derivada direcional de $f$ em $P(1,2)$ na direção de $P(1,2)$ para $Q(2,5)$ .

Solução: Por definição,

$\nabla f(x,y)=(2x-4y)\vec{i}-4x\vec{j}$

em $P(1,2)$ ,

$\nabla f|_ P=\nabla f(1,2)=-6\vec{i}-4\vec{j}.$

Agora fazendo $\vec{a}=\overrightarrow {PQ}$ , então

$\vec{a}=(2-1)\vec{i}+(5-2)\vec{j}=\vec{i}+3\vec{j}$

O vetor unitário na direção de $\overrightarrow {PQ}$ é

$\vec{u}=\dfrac {1}{\sqrt{10}}(\vec{i}+3\vec{j})$

daí

$D_ u f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \vec{u}$

$=(-6\vec{i}-4\vec{j})\cdot \dfrac {1}{\sqrt{10}}(\vec{i}+3\vec{j})$

$=-\dfrac {6}{\sqrt{10}}-\dfrac {12}{\sqrt{10}}=-\dfrac {18}{\sqrt{10}}$

Teorema 17 (do Gradiente). Seja $f(x,y)$ uma função de duas variáveis, diferenciável no ponto $P(x,y).$

O máximo de $D_{\vec{u}} f(x,y)$ em $P(x,y)$ é $\| \nabla f(x,y)\| .$
O máximo da taxa de crescimento de $f(x,y)$ em $P(x,y)$ ocorre na direção de $\nabla f(x,y).$

Prova: 1) Consideremos o ponto $P(x,y)$ e o vetor $\nabla f(x,y)$ como fixos (mas arbitrários) e o vetor $\vec{u}$ como variável. Seja $\gamma$ o ângulo entre $\vec{u}$ e $\nabla f(x,y).$ Sabemos que

$D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \vec{u}$

$=\| \nabla f(x,y)\| \| \vec{u}\| \cos \gamma$

$=\| \nabla f(x,y)\| \cos \gamma$

como $-1\leq \gamma \leq 1$ , o máximo ocorre se $\cos \gamma =1$ , neste caso, $D_{\vec{u}}f(x,y)=\| \nabla f(x,y)\| .$ 2) A derivada direcional $D_{\vec{u}}f(x,y)$ é a taxa de variação de $f(x,y)$ em relação à distância em $P(x,y)$ na direção definida por $\vec{u}.$ Esta taxa só atinge seu máximo se $\cos \gamma =1$ , isto é, $\gamma =0.$ Neste caso, $\vec{u}$ tem a mesma direção que $\nabla f(x,y).$

Corolário 3. Seja $f(x,y)$ uma função de duas variáveis, diferenciável no ponto $P(x,y).$

O mínimo de $D_{\vec{u}} f(x,y)$ em $P(x,y)$ é $-\| \nabla f(x,y)\| .$
O mínimo da taxa de acréscimo (ou o máximo da taxa de decréscimo) de $f(x,y)$ em $P(x,y)$ ocorre na direção de $-\nabla f(x,y).$

Exemplo 42. Seja $f(x,y)=2+x^2+\dfrac {1}{4}y^2$ .

Ache a direção segundo à qual $f(x,y)$ cresce mais rapidamente no ponto $P(1,2)$ , e determine a taxa máxima de crescimento de $f$ em $P$ .
Interprete (1) utilizando o gráfico de $f$ .

Solução: Pelo teorema 17 sabemos que a taxa de maior crescimento de $f(x,y)$ é a direção do gradiente de $f$ , assim

$\nabla f(x,y)=f_ x\vec{i}+f_ y\vec{j}=2x\vec{i}+\dfrac {1}{2}y\vec{j}$

então no ponto $P(1,2)$ temos que

$\nabla f(1,2)=2\vec{i}+\vec{j}$

esta é a direção de maior crescimento de $f$ no ponto $P(1,2)$ . A taxa máxima de crescimento é dada pela norma de $\nabla f(1,2)$ , ou seja,

$\| \nabla f(1,2)\| =\sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}.$

Para uma função $f$ de três variáveis em $\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k}$ , $\vec{u}$ vetor unitário, temos Derivada direcional de $f(x,y,z)$ é

$D_{\vec{u}} f(x,y,z)=\lim _{s\to 0} \dfrac {f(x+su_1, y+su_2,z+su_3)-f(x,y,z)}{s}.$

Gradiente de $f(x,y,z)$ é

$\nabla f(x,y,z)=f_ x(x,y,z)\vec{i}+f_ y(x,y,z)\vec{j}+f_ z (x,y,z)\vec{k}.$

Teorema 18. Se $f$ é uma função diferenciável de três variáveis e $\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2 \vec{j}+u_3\vec{k}$ é um vetor unitário, então

$D_{\vec{u}} f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot \vec{u}$

$=f_ x(x,y,z)u_1+f_ y(x,y,z)u_2+f_ z (x,y,z)u_3.$

Observação 6. Semelhantemente ao teorema 17 (do Gradiente) temos que entre todas as derivadas direcionais possíveis $D_{\vec{u}}f(x,y,z)$ no ponto $P(x,y,z)$ , a derivada na direção de $\nabla f(x,y,z)$ é a que tem maior valor e esse valor é $\| \nabla f(x,y,z)\| .$

Exemplo 43. Suponhamos que um sistema coordenado $xyz$ esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura $T$ no ponto $(x,y,z)$ seja dada pela fórmula $T=100/(x^2+y^2+z^2).$

Ache a taxa de variação de $T$ em relação à distância no ponto $P(1,3,-2)$ e na direção do vetor $\vec{a}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.$
Em que direção, a partir de $P$ , $T$ aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de $T$ em $P$ ?

Solução: Pela definição de gradiente, o gradiente de $T$ é

$\nabla T=\dfrac {\partial T}{\partial x}\vec{i}+\dfrac {\partial T}{\partial y}\vec{j}+\dfrac {\partial T}{\partial z}\vec{k}$

$\dfrac {\partial T}{\partial x}=\dfrac {-200x}{(x^2+y^2+z^2)^2}, \quad \dfrac {\partial T}{\partial y}=\dfrac {-200y}{(x^2+y^2+z^2)^2} \quad \dfrac {\partial T}{\partial z}=\dfrac {-200z}{(x^2+y^2+z^2)^2}$