2.5.2 Derivação implícita

As derivadas parciais podem ser usadas para achar a derivada de funções definidas implicitamente. Suponhamos que uma equação $F(x,y)=0$ (ou $c$ ) defina implicitamente uma função $f$ diferenciável tal que $y=f(x)$ , isto é, $F(x,f(x))=0$ , para todo $x\in D$ , onde $D$ é o domínio de $f$ . Introduzimos a seguinte função composta:

$w=f(u,y)$

em que $u=x$ e $y=f(x)$ . Temos que

$\dfrac {dw}{dx}=\dfrac {\partial w}{\partial u}\dfrac {du}{dx}+\dfrac {\partial w}{\partial y}\dfrac {dy}{dx}$

Como $w=F(x,f(x))=0$ segue que $\dfrac {dw}{dx}=0.$ Além disso, $\dfrac {du}{dx}=1$ , $\dfrac {dy}{dx}=f’(x).$ segue que

$0=\dfrac {\partial w}{\partial u}(1)+\dfrac {\partial w}{\partial y}f’(x)$

se $\dfrac {\partial w}{\partial y}\neq 0$ então

$f’(x)=\dfrac {-\dfrac {\partial w}{\partial u}}{\dfrac {\partial w}{\partial y}}= \dfrac {-\dfrac {\partial w}{\partial x}}{\dfrac {\partial w}{\partial y}}=\dfrac {-F_ x(x,y)}{F_ y(x,y)}$

Teorema 14. Se uma equação $F(x,y)=0$ define implicitamente, uma função diferenciável $f$ de uma variável $x$ tal que $y=f(x)$ , então

$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {-F_ x(x,y)}{F_ y(x,y)}.$

Exemplo 38. Ache $\dfrac {dy}{dx}$ se $y=f(x)$ é definida implicitamente por

$y^4+3y-4x^3-5x-1=0.$

Solução: Se $F(x,y)=y^4+3y-4x^3-5x-1$ então $F_ x=-12x^2-5$ e $F_ y=4y^3+3$ . Logo,

$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {12x^2+5}{4y^3+3}.$

Dada a equação

$x^2-4y^3+2z-7=0$

podemos resolvê-la em relação a $z$ , obtendo

$z=\dfrac {1}{2}\left(-x^2+4y^3+7\right)$

que é da forma $z=f(x,y)$ .

Teorema 15. Se uma equação $F(x,y,z)=0$ define implicitamente uma função diferenciável $f$ de duas variáveis $x$ e $y$ tais que $z=f(x,y)$ para todo $(x,y)\in D_ f$ então

$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {F_ x(x,y,z)}{F_ z(x,y,z)}, \quad \dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {F_ y(x,y,z)}{F_ z(x,y,z)}.$

Prova: A equação $F(x,y,z)=0$ define $z=f(x,y)$ implicitamente tal que $F(x,y,f(x,y))=0.$ Consideremos

$w=F(u,v,z)$

onde $u=x$ , $v=y$ e $z=f(x,y).$ Então

$\dfrac {\partial w}{\partial x}=\dfrac {\partial w}{\partial u}\dfrac {\partial u}{\partial x}+\dfrac {\partial w}{\partial v}\dfrac {\partial v}{\partial x}+\dfrac {\partial w}{\partial z}\dfrac {\partial z}{\partial x}$

Mas

$\dfrac {\partial u}{\partial x}=1, \quad \dfrac {\partial v}{\partial x}=0, \quad \dfrac {\partial w}{\partial x}=0$

(já que $w=F(x,y,f(x,y))=0$ ) assim

$0=\dfrac {\partial w}{\partial x}+\dfrac {\partial w}{\partial z}\dfrac {\partial z}{\partial x}$

e se $\dfrac {\partial w}{\partial z}\neq 0$ então

$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {\partial w}{\partial x}/\dfrac {\partial w}{\partial z}=-F_ x(x,y)/F_ z(x,y).$

Exemplo 39. Ache $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ e $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ se $z=f(x,y)$ é definida implicitamente por

$x^2 z^2+xy^2-z^3+4yz-5=0.$

Solução: Seja $F(x,y,z)=x^2 z^2+xy^2-z^3+4yz-5$ temos que

$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {2xz^2+y^2}{2x^2z-3z^2+4y}, \quad \dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {2xy+4z}{2x^2z-3z^2+4y}.$