2.6 Exercícios da segunda seção

Ache as derivadas parciais das funções abaixo:
1. $z=f(x,y)=3x^2y^3-5x^3 y^2,$
2. $z=xye^{x^2+y^2},$
3. $z=\ln (x^2+y^2),$
4. $z=\dfrac {x}{x^2+y^2},$
5. $z=\operatorname{arctg}(y/x),$
6. $z=\cos \sqrt{1+x^2y^4},$
7. $z=\operatorname{arcsen}(x^2+y^2),$
8. $z=\exp (x/y),$
9. $z=e^{\operatorname{sen}(x\sqrt{y})},$
10. $z=x \operatorname{sen}(x^2y),$
11. $z=xye^{xy},$
12. $z=\dfrac {x\operatorname{sen}y}{\cos (x^2+y^2)}.$
Seja $z=\operatorname{arcsen}(x-y)$ ache $f_ x(1,1/2)$ .
Seja $z=\sqrt{x^2+y^2},$ ache $z_{xy}(1,0)$ e $z_{yx}(1,0).$
Seja. Mostre que $z_{xx}+z_{yy}=0$ . Para as funções abaixo:
1. $z=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ ,
2. $z=e^ x\operatorname{sen}y.$
3. Seja $u(x,t)=\dfrac {1}{\sqrt{t}}e^{\dfrac {-x^2}{4kt}}$ , $t>0$ e $k$ constante. Mostre que $u_ t-ku_{xx}=0.$
4. Seja $z(x,t)=f(x-ct)$ com $f\in C^2$ , mostre que $z_{tt}-c^2 z_{xx}=0.$
5. Sejam $u(x,y)$ e $v(x,y)$ tais que $u_ x=v_ y$ e $u_ y=-v_ x$ então $u_{xx}+v_{yy}=0$ .
6. Seja $z=\dfrac {xy^2}{x^2+y^2}$ então $xz_ x+yz_ y=z$ .
7. Seja $f(x,y,z,w)=e^{xyzw}$ calcule $f_ x$ , $f_ y$ , $f_ z$ e $f_ w$ .
8. Seja