2.2 Incrementos e Diferenciais

Definição 4. Seja $f: D \rightarrow \mathbb {R}$ , $D\subset \mathbb {R}^2$ , $\Delta x$ e $\Delta y$ denotam o incremento de $x$ e $y$ , respectivamente. O incremento $\Delta w$ de $w=f(x,y)$ é:

$\Delta w=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y).$

Exemplo 23. Seja $w=3x^2-xy.$ (a) se $\Delta x$ e $\Delta y$ são incrementos de $x$ e $y$ determine $\Delta w$ . (b) Use $\Delta w$ para calcular a variação de $f(x,y)$ quando $(x,y)$ varia de $(1;2)$ a $(1,01;1,98)$ .

Solução: Seja

$\Delta w=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

$\Delta w=3(x+\Delta x)^2-(x+\Delta x).(y+\Delta y)-(3x^2-xy)$

$=3x^2+6x\Delta x+3 (\Delta x)^2-xy-x\Delta y-y\Delta x-\Delta x \Delta y-3x^2+xy$

$=(6x-y)\Delta x-x\Delta y+3 (\Delta x)^2-\Delta x \Delta y$

Teorema 6. Seja $w=f(x,y)$ definida em $R=\{ (x,y): a<x<b, c<y<d\} ,$ suponhamos que $f_ x$ e $f_ y$ existem em $R$ e sejam contínuas em $(x_0,y_0)\in R$ . Se $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\in R$ e $\Delta w=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ então

$\Delta w=f_ x(x_0,y_0)\Delta x+f_ y(x_0,y_0)\Delta y+ \varepsilon _1 \Delta x+\varepsilon _2 \Delta y$

onde $\lim _{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)} \varepsilon _ i=0.$

Definição 5. Seja $w=f(x,y)$ e sejam $\Delta x$ e $\Delta y$ incrementos de $x$ e $y$ , respectivamente.

As bluediferenciais $dx$ e $dy$ das variáveis independentes $x$ e $y$ são $dx=\Delta x$ e $dy=\Delta y$ .
A bluediferencial da variável dependente $w$ é

$dw=f_ x(x,y)dx+f_ y(x,y)dy.$

Exemplo 24. Se $w=x^2-xy$ calcule $dw$ .

Solução:

$dw=\dfrac {\partial w}{\partial x}dx+\dfrac {\partial w}{\partial y}dy$

$dw=(6x-y)dx+(-x)dy$

Definição 6. Seja $w=f(x,y)$ a função $f$ é bluediferenciável em $(x_0,y_0)$ se $\Delta W$ puder ser escrita como:

$\Delta w=f_ x(x_0,y_0)\Delta x+f_ y(x_0,y_0)\Delta y+ \varepsilon _1 \Delta x+\varepsilon _2\Delta y$

onde $\varepsilon _1$ e $\varepsilon _2$ são funções de $\Delta x$ e $\Delta y$ e $\lim _{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)} \varepsilon _ i=0.$

Diz-se que uma função $f$ é bluediferenciável numa região $R$ se $f$ é diferenciável em todos os pontos de $R$ .

Teorema 7. Seja $w=f(x,y)$ e se $f_ x$ e $f_ y$ são contínuas numa região $R$ então $f$ diferenciável em $R$ .

Prova: Consequência do teorema $\ref{diferen}$ .

Teorema 8. Se uma função $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ então ela é contínua nesse ponto.

Prova:

$\Delta w=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$

$\Delta w=f_ x(x_0,y_0)\Delta x+f_ y(x_0,y_0)\Delta y+ \varepsilon _1 \Delta x+\varepsilon _2 \Delta y.$

Fazendo $x=x_0+\Delta x$ e $y=y_0+\Delta y$ obtemos

$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_ x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_ y(x_0,y_0)(y-y_0)+ \varepsilon _1 (x-x_0)+\varepsilon _2 (y-y_0),$

segue que

$\lim _{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y)-f(x_0,y_0)=0$

logo $f$ é contínua.

Corolário 1. Se $f$ é uma função de duas variáveis e se $f_ x$ e $f_ y$ são contínuas numa região retangular $R$ então $f$ é contínua em $R$ .

Prova: Segue diretamente do teorema 8.

Exemplo 25. Seja

$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {xy}{x^2+y^2}\, (x,y)\neq (0,0)\\ 0, \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Então

$f_ x(0,0)$ , $f_ y(0,0)$ existem;
$f$ não é contínua em $(0,0)$ ;
$f$ não é diferenciável em $(0,0)$ .

De fato, temos que

$f_ x(0,0)=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim _{h\to 0}\dfrac {\dfrac {h.0}{h^2+0^2}-0}{h}=0.$

Analogamente, $f_ y(0,0)=0$ , portanto, essas derivadas parciais de $f$ existem no ponto $(0,0)$ mas, nota-se que elas não são contínuas na origem. Também vemos que

$\lim _{x\to 0} f(x,x)=\lim _{x \to 0} \dfrac {x^2}{2x^2}=\dfrac {1}{2}$

o que implica que $f$ não é contínua na origem, logo $f$ não pode ser diferenciável.

Seja $w=f(x,y,z)$ uma função de três variáveis então seu incremento será

$\Delta w=f(x+\Delta x, y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z).$

e também teremos que

$\Delta w=f_ x(x,y,z)\Delta x+f_ y (x,y,z)\Delta y+f_ z (x,y,z)\Delta z+ \varepsilon _1 \Delta x+\varepsilon _2 \Delta y+\varepsilon _3 \Delta z$

onde $\displaystyle \lim _{(\Delta x, \Delta y,\Delta z)\to (0,0,0)}\varepsilon _ i=0$ .

Definição 7. Seja $w=f(x,y,z)$ as diferenciais de $x$ , $y$ e $z$ são:

$dx=\Delta x, \quad dy=\Delta y, \quad dz=\Delta z$

e a diferencial de $w$ é:

$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dx+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz.$

Exemplo 26. Suponha que as dimensões de uma caixa retangular varia de $(9,6,4)$ para $(9,02; 5,17;4,01)$ .

Obtenha uma aproximação da variação do volume.
Ache a variação exata do volume.

onde $V=xyz.$

Solução:(a) $\Delta V \approx dV=\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz=yz\, dx+xz\, dy+xy\, dz$

$dV=0,98-1,08+0,54=-0,06$

(b) $\Delta V=(9,07)(5,97)(4,01)-9.6.4=-0,063906.$

Suponhamos $w=f(x,y,z)$ definida numa região $R$ do espaço tridimensional e suponha que existam $f_ x$ , $f_ y$ e $f_ z$ em $R$ e que sejam contínuas em $(x,y,z).$ Se dermos a $x$ , $y$ , $z$ incrementos $\Delta x$ , $\Delta y$ , $\Delta z$ , respectivamente, então o incremento de $w$ correspondente é:

$\Delta w=f(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)-f(x,y,z).$

Podemos escrever este incremento na forma:

$\Delta w=\dfrac {\partial f}{\partial x}(x,y,z)\Delta x+\dfrac {\partial f}{\partial y}(x,y,z)\Delta y+\dfrac {\partial f}{\partial z}(x,y,z)\Delta z+R(\Delta x, \Delta y,\Delta z),$

onde $\displaystyle \lim _{(\Delta x, \Delta y, \Delta z)\to (0,0,0)} \dfrac {R(\Delta x, \Delta y,\Delta z)}{\| (\Delta x, \Delta y,\Delta z)\| }=0.$

Definição 8. Seja $w=f(x,y,z)$ e sejam $\Delta x$ , $\Delta y$ e $\Delta z$ incrementos de $x$ , $y$ e $z$ , respectivamente.

As diferenciais $dx$ , $dy$ e $dz$ de $x$ , $y$ e $z$ são

$dx=\Delta x, \quad dy=\Delta y, \quad dz=\Delta z.$

A diferencial $dw$ da variável dependente $w$ é

$dw=\dfrac {\partial w}{\partial x}dx+\dfrac {\partial w}{\partial y}dy+\dfrac {\partial w}{\partial z}dz.$

Pode-se usar $dw$ como aproximação de $\Delta w$ se os incrementos de $x$ , $y$ e $z$ são pequenos.

Definição 9. Seja $f:A\subset \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R},$ $A$ aberto, e $(x_0,y_0)\in A$ . Dizemos que $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ se, e somente se, existirem reais $a$ e $b$ tais que

$\lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-a\cdot h-b\cdot k}{\| (h,k)\| }=0.$

Observação 2. Podíamos também definir a diferenciabilidade de $f$ em $(x_0,y_0)$ como:

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+a\cdot h+b\cdot k+R(h,k)$

onde $\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0.$

Teorema 9.

Se $f$ for diferenciável em $(x_0,y_0)$ então $f$ é contínua em $(x_0,y_0)$ .

Prova: Sendo $f(x,y)$ diferenciável em $(x_0,y_0)$ , existem reais $a$ e $b$ tais que

$\lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0$

onde $R(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-a\cdot h-b\cdot k.$ Como $\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} ah+bk=0$ e $\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} R(h,k)=\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)}\| (h,k)\| \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| } =0.$ resulta que $f$ é contínua em $(x_0,y_0)$ .

Teorema 10. Seja $f:A\subset \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R},$ $A$ aberto, e $(x_0,y_0)\in A$ . Se $f$ for diferenciável nesse ponto, então $f$ admitirá derivadas parciais nesse ponto.

Prova: Seja $f$ diferenciável no ponto $(x_0,y_0)$ então existem $a$ e $b$ tais que

$\begin{equation} \lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0.\label{Rhk} \end{equation}$

(2.5)

onde $R(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-a\cdot h-b\cdot k.$ Segue de (2.5) que

$\lim _{h\to 0} \dfrac {R(h,0)}{\| (h,0)\| }=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)-a\cdot h}{|h|}=0$

$\lim _{h\to 0}\dfrac {f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)-a\cdot h}{h}=0$

e, portanto,

$\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim _{h\to 0}\dfrac {f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=a$

Analogamente,

$\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=b.$

Teorema 11. Seja $f:A\subset \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R},$ $A$ aberto, e $(x_0,y_0)\in A$ . Tem-se que $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ se, e somente se, $f$ admite derivadas parciais em $(x_0,y_0)$ e $\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0.$

Observação 3. Devemos notar que as seguintes condições devem ser satisfeitas para a diferenciabilidade de uma função $f$ :

$\displaystyle \lim _{(h,k)\to (0,0)} \dfrac {R(h,k)}{\| (h,k)\| }=0.\label{Rh}$
Se uma das derivadas parciais em $(x_0,y_0)$ não existem então $f$ não é diferenciável.
Se $f_ x$ e $f_ y$ existem em $(x_0,y_0)$ mas o item 1 não é satisfeito então $f$ não é diferenciável.
Se $f$ não é contínua então $f$ não é diferenciável.

Exemplo 27. Mostre que a função $f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^4}{x^2+y^2}, \, (x,y)\neq (0,0);\\ 0,\, (x,y)=(0,0) \end{cases}$ é uma função diferenciável.

Solução: Temos que

$\dfrac {\partial f}{\partial x}=\begin{cases} \dfrac {2x^5+4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}, \, (x,y)\neq (0,0);\\ 0, \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$

$\dfrac {\partial f}{\partial y}=\begin{cases} \dfrac {-2x^4 y}{(x^2+y^2)^2}, \, (x,y)\neq (0,0);\\ 0, \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Em $(0,0)$ temos que

$\dfrac {\partial f}{\partial x} (0,0)=\lim _{(x,y)\to (0,0)} \dfrac {\partial f}{\partial x} (x,y)=\lim _{(x,y)\to (0,0)}\dfrac {2x^5+4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}=0;$

o mesmo vale para $\dfrac {\partial f}{\partial y} (0,0)$ , logo $f$ é diferenciável.

Exemplo 28. Considere a função: $f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {x^3}{x^2+y^2},\, (x,y)\neq (0,0)\\ 0, \, (x,y)=(0,0) \end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$ ?