2.3 Condições suficientes para diferenciabilidade

Teorema 12. Seja $f:A\subset \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R},$ $A$ aberto, e $(x_0,y_0)\in A$ . Se as derivadas parciais $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ existirem em $A$ e forem contínuas em $(x_0,y_0)$ então $f$ é diferenciável nesse ponto.

Prova: Como $A$ é aberto então existe uma bola aberta centrada no ponto $(x_0,y_0)$ contida em $A$ , isto é, $B(x_0,y_0)\subset A$ , logo, $(x_0+h, y_0+k)\in B(x_0,y_0).$ Temos que

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0).$

Chamando $G(x)=f(x,y_0+k)$ então pelo Teorema do valor médio(T.V.M.), temos que

$G(x_0+h)-G(x_0)=G’(\xi )h=\dfrac {\partial f}{\partial x}(\xi , y_0+k)h$

onde $\xi$ está entre $x_0$ e $x_0+h$ . Analogamente, definindo $H(y)=f(x_0,y)$ então pelo T.V.M.

$H(y_0+k)-H(y_0)=H’(\eta )k=\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0,\eta )k$

onde $\eta$ está entre $y_0$ e $y_0+k.$ Assim

$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h-\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)h=$

$=\left[\dfrac {\partial f}{\partial x}(\xi , y_0+k)-\dfrac {\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\right]h+\left[\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0, \eta )-\dfrac {\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\right]k$

como as derivadas parciais de $f$ são contínuas, segue que o limite do lado direito da igualdade acima vai pra zero quando $(h,k)\to (0,0)$ , pois, $h/\| (h,k)\|$ e $k/\| (h,k)\|$ são limitadas.

Definição 10. Uma função $f$ diz-se de classe $C^1$ se $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ forem contínuas em $A$ . Uma função $f$ é de classe $C^2$ se $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ , $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ , $\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2}$ , $\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x\partial y}$ , $\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y^2}$ forem contínuas. De um modo geral, uma função $f$ é de classe $C^ n$ se $\dfrac {\partial ^ k f}{\partial x_1 \partial x_2 \cdots \partial x_ k}$ forem contínuas com $k=1, \cdots ,n$ , e onde os $x_ i$ podem, eventualmente, ser repetidos e iguais a $x$ e(ou) $y$ . E, finalmente, uma função $f$ diz-se de classe $C^{\infty }$ se ela é de classe $C^ n$ para todo $n\in \mathbb {N}$ .

Corolário 2. Seja $f:A\to \mathbb {R}$ , $A$ aberto. Se $f$ é de classe $C^1$ então $f$ é diferenciável.

Exemplo 30. Seja $f(x,y)=\operatorname{sen}(x^2+y^2)$ . $f$ é de classe $C^1$ , pois $f_ x=2x \cos (x^2+y^2)$ e $f_ y=2y\cos (x^2+y^2)$ que são contínuas no $\mathbb {R}^2.$