2.1 Derivadas Parciais

Definição 3. Se $f$ é uma função de duas variáveis, as bluederivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e a $y$ são as funções $f_ x$ e $f_ y$ definidas por

$f_ x(x,y)=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

e

$f_ y(x,y)=\lim _{k\to 0} \dfrac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$

desde que existam os limites.

Notações:

$f_ x=\dfrac {\partial f}{\partial x}, \quad f_ y=\dfrac {\partial f}{\partial y}$

se $w=f(x,y)$ então

$f_ x=\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial w}{\partial x}=w_ x$

$f_ y=\dfrac {\partial f}{\partial y}=\dfrac {\partial w}{\partial y}=w_ y$

Exemplo 18. Calcule $f_ x$ e $f_ y$ se $f(x,y)=x^2y^4-3x^3y^2+3y.$

Solução: Temos que:

$f_ x(x,y)=2xy^4-9x^2y^2$

$f_ y(x,y)=4x^2y^3-6x^3y+3.$

Exemplo 19. Seja $g(x,y)=\dfrac {xy}{x+y}$ ache $g_ x$ e $g_ y$ .

Solução: A derivada parcial $g_ x$ é:

$g_ x=\dfrac {y(x+y)-xy}{(x+y)^2}=\dfrac {y^2}{(x+y)^2}$

de modo análogo, temos que $g_ y$ é:

$g_ y=\dfrac {x(x+y)-xy}{(x+y)^2}=\dfrac {x^2}{(x+y)^2}.$

Observação 1. Se $f(x,y)$ representa a temperatura em cada ponto $(x,y)$ , então $\Delta f(x,y)=f(x+h,y)-f(x,y)$ é a variação líquida da temperatura, $\dfrac {\Delta f}{h}$ é a variação média da temperatura e $f_ x=\lim _{h \to 0} \dfrac {\Delta f}{h}$ é a taxa instantânea de variação da temperatura em relação à distância quando $(x,y)$ se move na direção $h$ .

blueInterpretação geométrica das derivadas parciais

Considere os pontos $M(x,y,0)$ e $N(x,y+h,0)$ . O plano $\Gamma$ paralelo ao plano-yz, passando por $M$ e $N$ intercepta uma curva $C$ paralela ao plano-yz, na direção do eixo-y. Sejam $P$ e $Q$ pontos dessa curva $C$ que projetados no plano-xy dão $M$ e $N$ , respectivamente. Conforme a figura 2.1, $\| \overline{MP}\| =f(x,y)$ e $\| \overline{NQ}\| =f(x,y+h)$ e $\| \overline{MN}\| =h$ . A razão $[f(x,y+h)-f(x,y)]/h$ é o coeficiente angular da secante por $P$ e $Q$ no plano $\Gamma$ . O limite desta razão quando $h$ tende a zero, ou seja, $f_ y(x,y)$ , é o coeficiente angular da tangente a $C$ , na direção do eixo-y. Analogamente, temos a interpretação para $f_ x(x,y).$

$\includegraphics[scale=1]{interpreta.eps}$

Figure 2.1: Interpretação geométrica das derivadas parciais

Para a função de três variáveis, definimos as derivadas parciais do mesmo modo, isto é, se $f$ é função de três variáveis $x$ , $y$ e $z$ , então

$f_ x=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h},$

$f_ y=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h},$

$f_ z=\lim _{h\to 0} \dfrac {f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}.$

Exemplo 20. Se $w=x^2y^3 \operatorname{sen}z+e^{xz},$ determine $w_ x$ , $w_ y$ e $w_ z.$

Solução: Temos que

$w_ x=2xy^3\operatorname{sen}z+ze^{xz},$

$w_ y=3x^2y^2 \operatorname{sen}z+0,$

$w_ z=x^2y^3 \cos z+xe^{xz}.$

Se $f$ é função de duas variáveis $x$ e $y$ então $f_ x$ e $f_ y$ são também funções das duas variáveis $x$ e $y$ ; podemos então considerar as suas derivadas parciais primeiras, que serão as bluederivadas parciais segundas de $f$ e denotamos:

$\dfrac {\partial f_ x}{\partial x}=(f_ x)_ x=f_{xx}=\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\dfrac {\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2}$

$\dfrac {\partial f_ x}{\partial y}=(f_ x)_ y=f_{xy}=\dfrac {\partial }{\partial y}\left(\dfrac {\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y\partial x}$

$\dfrac {\partial f_ y}{\partial x}=(f_ y)_ x=f_{yx}=\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\dfrac {\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x\partial y}$

$\dfrac {\partial f_ y}{\partial y}=(f_ y)_ y=f_{yy}=\dfrac {\partial }{\partial y}\left(\dfrac {\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y^2}$

Exemplo 21. Determine as derivadas parciais segundas de $f$ se $f(x,y)=x^3y^2-2x^2y+3x$ .

Solução: Vimos que

$f_ x=3x^2y^2-4xy+3$

$f_ y=2x^3y-2x^2$

daí

$f_{xx}=6xy^2-4y$

$f_{xy}=6x^2y-4x=f_{yx}$

$f_{yy}=2x^3$

Exemplo 22. Considere a função

$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, \quad x^2+y^2\neq 0\\ 0, \quad x^2+y^2=0 \end{cases}$

Note que

$f_ x(x,y)=\dfrac {x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}, \quad f_ x(x,y)=\dfrac {x^5-4xy^4}{(x^2+y^2)^2}$

logo,

$f_ x(0,y)=-y, \quad f_ y(x,0)=x$

daí

$f_{xy}(0,0)=-1, \quad f_{yx}(0,0)=1$

Portanto, $f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0)$ . Mas, se uma função $g$ têm derivadas parciais segundas contínuas, então $g_{xy}=g_{yx}.$ De maneira análoga se define as derivadas parciais terceiras (ou de terceira ordem), ou de ordem superior. Por exemplo,

$\dfrac {\partial f_{xx}}{\partial x}=f_{xxx}=\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2}\right)=\dfrac {\partial ^3 f}{\partial x^3}$

$\dfrac {\partial f_{xy}}{\partial x}=f_{xyx}=\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\right)=\dfrac {\partial ^3 f}{\partial x \partial y \partial x}$

Se as derivadas parciais de terceira ordem forem contínuas então

$f_{xyx}=f_{yxx}=f_{xxy}.$

De forma análoga se define as derivadas parciais segundas e de ordem superior para as funções $w=f(x,y,z)$ de três variáveis.

$w_{xx}=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial x^2}, \quad w_{xy}=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y \partial x}, \quad w_{xz}= \dfrac {\partial ^2 f}{\partial z \partial x},$

$w_{yy}=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial y^2},\quad w_{yz}=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial z \partial y},\quad w_{zz}=\dfrac {\partial ^2 f}{\partial z^2}.$