1.2 Limites

Definição 2. Seja $f:D\to \mathbb {R}$ uma função de duas variáveis com domínio $D\subset \mathbb {R}^2$ . Dizemos que $f(x,y)$ tem limite $L$ quando $(x,y)$ se aproxima de $(a,b)$ e, denotamos por $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=L$ se, dado $\epsilon >0$ , existe $\delta >0$ tal que se $0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$ então

$|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon .$

Essa definição quer dizer que quando um ponto $(x,y)$ se aproxima do ponto $(a,b)$ no plano-xy então o valor $f(x,y)$ se aproxima do valor de $L$ . Podemos provar que quando esse limite existe, ele é único.

Propriedade 1 (Propriedades do Limite). Sejam $f$ e $g$ funções de duas variáveis tais que $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ e $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}g(x,y)$ existam e sejam iguais a $L$ e $M$ , respectivamente, e tome $\alpha$ constante. Então,

$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)+g(x,y)=L+M.$
$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)g(x,y)=LM.$
$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}\alpha f(x,y)=\alpha L$
Se $M\neq 0$ então $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)} \dfrac {f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac {L}{M}.$

A função polinomial é definida por

$P(x,y)=\sum _{m=0}^{s} \sum _{n=0}^{r} a_{nm}x^ n y^ m.$

A função racional é definida por

$R(x,y)=\dfrac {P(x,y)}{Q(x,y)}$

onde $P$ e $Q$ são funções polinomiais.

$\displaystyle \lim _{x\to x_0}x^ m=x_0^ m$
$\displaystyle \lim _{y\to y_0} y^ n=y_0^ n$
Assim: $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (x_0,y_0)}x^ m y^ n=x_0^ my_0^ n.$
Logo: $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (x_0,y_0)}P(x,y)=P(x_0,y_0).$
Se $Q(x_0,y_0)\neq 0$ então $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (x_0,y_0)} R(x,y)=R(x_0,y_0).$

Exemplo 6. Ache o limite de:

$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (2,-3)}(x^3-4xy^2+5y-7)=2^3-4.2.(-3)^2+5.(-3)-7=-86$ .
$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (3,4)}\dfrac {x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac {-7}{5}.$

Exemplo 7. O $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\dfrac {a(x^2-y^2)}{c(x^2+y^2)}$ não existe, onde $a$ e $c$ são reais positivos e não nulos.

De fato, Note que $f(x,0)=\dfrac {a}{c}, \quad x\neq 0$ e $f(0,y)=-\dfrac {a}{c}$ assim, $\lim _{x\to 0}f(x,0)=\dfrac {a}{c}$ e $\lim _{y \to 0}f(0,y)=-\dfrac {a}{c}$ , logo o limite $\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ não pode existir. Qualquer círculo centrado na origem tem sempre valores de $f$ iguais a $\dfrac {a}{c}$ e valores iguais a $-\dfrac {a}{c}$ , temos que dado $0<\epsilon <2\dfrac {a}{c}$ , podemos achar $\delta >0$ com $\sqrt{x^2+0^2}<\delta$ tal que $|f(x,0)-\dfrac {a}{c}|<\epsilon$ mas $|f(0,y)-\dfrac {a}{c}|=2\dfrac {a}{c}>\epsilon$ .

Teorema 1. Se dois caminhos diferentes para um ponto $(a,b)$ resulta em dois limites diferentes então $\lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)$ não existe.

Veja que no exemplo 7 anterior, o limite da função $f(x,y)=\dfrac {a(x^2-y^2)}{c(x^2+y^2)}$ nao existe pois tomando os eixos (eixo-x e eixo-y) coordenados os limites são diferentes.

Exemplo 8. Mostre que o $\lim _{(x,y) \to (0,0)} \dfrac {ax^2y}{b(x^4+y^2)}$ não existe, com $a$ e $b$ reais diferentes de zero.

Solução: Ao longo da reta $y=mx$ temos:

$\lim _{x \to 0} \dfrac {ax^2 (mx)}{b(x^4+m^2 x^2)}=\lim _{x\to 0} \dfrac {amx^3}{b(x^4+m^2x^2)}$

$=\lim _{x\to 0}\dfrac {amx}{b(x^2+m^2)}=\dfrac {0}{b(0+m^2)}=0.$

Ao longo da parábola:

$\lim _{x\to 0} \dfrac {ax^2x^2}{b(x^4+(x^2)^2}=\lim _{x\to 0}\dfrac {ax^4}{2bx^4}=\dfrac {a}{2b}.$

Seja $A$ um subconjunto do espaço bidimensional $\mathbb {R}^2$ . Um ponto $(a,b)\in \mathbb {R}^2$ é blue ponto interior de $A$ se existe uma bola aberta $B_{\delta }(a,b)$ com centro em $(a,b)$ inteiramente contida em $A.$ a bola aberta $B_{\delta }(a,b)$ é definida por

$B_{\delta }(a,b)=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2: (x-a)^2+(y-b)^2<\delta ^2\}$

$B_{\delta }(a,b)\subset A$

$\includegraphics[scale=1.5]{pontint.png}$

Figure 1.4: Ponto interior e de fronteira

Uma blueregião aberta $A$ é uma região onde todos os seus pontos são pontos interiores. Um ponto $(a,b)$ é um blue ponto de fronteira de $A$ se dada qualquer bola aberta $B_{\delta }(a,b)$ então ela contém pontos de $A$ e pontos fora de $A$ . Uma região $A$ é bluefechada quando contém todos os seus pontos fronteira. Temos que $A\subset \mathbb {R}^2$ ou $A\subset \mathbb {R}^3$ é blue aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. $A$ é blue fechado se, e somente se, $A^ c$ é aberto.

Exemplo 9.

$A=\{ (x,y): x^2+y^2<1\}$ é aberto.
$A=\{ (x,y): x^2+y^2\leq 1\}$ é fechado.