1.3 Continuidade

Seja $D$ um subconjunto aberto do $\mathbb {R}^2$ e seja $f:D \to \mathbb {R}$ . A função $f$ é bluecontínua num ponto $(a,b)\in D$ se

$\lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=f(a,b).$

Exemplo 10. O polinômio é uma função contínua, isto é,

$P(x,y)=\sum _{i=0}^ n \sum _{j=0} a_{ij} x^ i y^ j$

é contínua, pois, já vimos que

$\lim _{(x,y)\to (a,b)}P(x,y)=P(a,b).$

Exemplo 11.

A função

$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {x^2-y^2}{x-y}, \quad (x,y)\neq (0,0)\\ 0, \quad (x,y)=(0,0) \end{cases}$

é descontínua em $\mathbb {R}^2$ , pois,

$\dfrac {x^2-y^2}{x-y}$

não está definida na reta $y=x$ . Mas se definimos

$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {x^2-y^2}{x-y}, \quad (x,y)\neq (0,0)\\ 2x, \quad (x,y)=(x,x) \end{cases}$

então essa nova função é contínua, já que,

$\lim _{(x,y)\to (x,x)} \dfrac {x^2-y^2}{x-y}=\lim _{(x,y)\to (x,x)} x+y=2x.$

Exemplo 12. A função

$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac {x^2 y}{x^2+y^2}, \quad (x,y)\neq (0,0)\\ 0, \quad (x,y)=(0,0) \end{cases}$

é contínua no $\mathbb {R}^2$ .

Solução: Só precisamos mostrar a continuidade na origem. (Por quê?) Assim,

$0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)} |f(x,y)|=\lim _{(x,y)\to (0,0)} \dfrac {|x|^2|y|}{x^2+y^2}\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}\dfrac {|x|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=0.$

Logo,

$\lim _{(x,y)\to (0,0)} |f(x,y)|=\lim _{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0.$

o que prova a continuidade de $f$ .

Vamos estabelecer agora alguns resultados importantes que podem ser usados na resolução de diversos problemas.

Teorema 2. Sejam $f$ , $g$ e $h$ funções de duas variáveis com interseção nos seus domínios. Suponha que um ponto $(a,b)$ pertença a essa interseção, se $f(x,y)\leq h(x,y)\leq g(x,y)$ e $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)} g(x,y)=L$ então $\lim _{(x,y)\to (a,b)}h(x,y)=L.$

Teorema 3. Temos que o $\lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=0$ se, e somente se, $\lim _{(x,y)\to (a,b)} |f(x,y)|=0$

Teorema 4. Sejam $f$ e $g$ funções de duas variáveis com o mesmo domínio $D\subset \mathbb {R}^2.$ Se $\lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=0$ e $|g(x,y)|\leq M$ para todo $(x,y)\in D,$ então $\lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)g(x,y)=0.$

Propriedade 2 (Propriedades do Limite). Sejam $f$ e $g$ funções de duas variáveis contínuas no ponto $(a,b)$ e tome $\alpha$ constante. Então,

$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)+g(x,y)=f(a,b)+g(a,b).$
$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)\cdot g(x,y)=f(a,b)\cdot g(a,b).$
$\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}\alpha \cdot f(x,y)=\alpha \cdot f(a,b).$
Se $g(a,b)\neq 0$ então $\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)} \dfrac {f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac {f(a,b)}{g(a,b)}.$