1.1 Continuidade e Limites

Definição 1. Seja $D$ um subconjunto de $\mathbb {R}^2$ . Uma função $f$ de duas variáveis é uma função tal que

$f: D \rightarrow \mathbb {R}, \quad D\subset \mathbb {R}^2$

$(x,y)\mapsto f(x,y)$

onde $D$ é o domínio de $f$ .

O domínio $D$ de uma função $f$ é o conjunto de elementos do $\mathbb {R}^2$ tal que $f(x,y)$ faz sentido. A imagem de $f$ é o conjunto de todos os números reais $f(x,y)$ com $(x,y)\in D$ , isto é,

$Im(f)=\{ f(x,y)\in \mathbb {R}, \quad (x,y)\in D\} .$

$\includegraphics[scale=1]{funcvv.png}$

Figure 1.1: $f: D \rightarrow \mathbb {R}$

Exemplo 1. Se $f(x,y)=\dfrac {xy-7}{\sqrt{y-x^2}}$ . Determine o domínio de $f$ .

Solução: O domínio de $f$ é o conjunto dos pontos $(x,y)\in \mathbb {R}^2$ tal que $y>x^2$ .

$\includegraphics[scale=1]{cilindro.png}$

Figure 1.2: $y=x^2$

Seja $A=\pi r^2+2\pi r h$ então $A$ é a área de um cilindro circular reto em função do raio $r$ e da altura $h$ . $r$ e $h$ são as variáveis independentes e $A$ é a variável dependente.

$\includegraphics[scale=1]{yx2.png}$

Figure 1.3: Cilindro

De modo análogo, se $D$ é um subconjunto de $\mathbb {R}^3$ , definimos $f:D \to \mathbb {R}$ tal que $(x,y,z) \mapsto f(x,y,z)$ , $f$ é uma função de três variáveis $x$ , $y$ e $z$ . Neste caso, $D$ é uma região do espaço tridimensional e é o domínio de $f$ , a imagem de $f$ é

$Im(f)=\{ f(x,y,z): (x,y,z)\in D\} \subset {\mathbb {R}}$

$D=\{ (x,y,z): f(x,y,z) \quad \textsf{faz sentido}\} \subset {\mathbb {R}}$

Seja $f:D\to \mathbb {R},$ com $D\subset {\mathbb {R}^2}.$ O gráfico de $f$ é, por definição, o gráfico da superfície $S$ determinada pela equação, $z=f(x,y),$ num sistema de coordenadas $(x,y,z).$ Isto é, o conjunto

$S=Graf(f(x,y))=\{ (x,y,z): (x,y)\in D_ f\quad \text {e}\quad z=f(x,y)\}$

é o gráfico de $f.$

Exemplo 2. Seja

$f(x,y)=9-x^2-y^2, \quad D=\{ (x,y): x^2+y^2\leq 9\} .$

Esboce o gráfico de $f.$

O domínio de $f$ é o disco $D$ que está dentro do círculo de raio 3, inclusive o próprio círculo. Temos que

$z=9-x^2-y^2, \quad z+x^2+y^2=9 \quad \textsf{equação do parabolóide}$

Se fazemos $z=k$ obtemos curvas no plano $z=k.$ Seja $f$ uma função de duas variáveis e consideremos o traço do gráfico de $f$ no plano $z=k$ . Projetando este traço no plano-xy obtemos uma curva $C$ de equação $f(x,y)=k$ , $C:f(x,y)=k$ é a bluecurva de nível $k$ de $f$ .

Exemplo 3. Esboce algumas curvas de nível da função $f$ do exemplo 2.

Solução: Quando fazemos $f(x,y)=k$ , obtemos $k=9-x^2-y^2$ ou $x^2+y^2=9-k$ com $0\leq k<9.$ Ou seja obtemos círculos.

$z=0$ , temos que $x^2+y^2=9$ obtemos o círculo de raio $3$ .
$z=1$ , temos que $x^2+y^2=8$ obtemos o círculo de raio $2\sqrt{2}.$
$z=2$ , temos que $x^2+y^2=7$ obtemos o círculo de raio $\sqrt{7}.$
$z=8$ , temos que $x^2+y^2=1$ obtemos o círculo de raio $1$ .

Se $f$ é uma função de três variáveis então $f(x,y,z)=k$ são bluesuperfícies de nível $k$ de $f.$

$k=w_0$ então $f(x,y,z)=w_0$ é o gráfico de uma superfície $S_0$ .
$k=w_1$ então $f(x,y,z)=w_1$ é o gráfico de uma superfície $S_1$ .
$k=w_2$ então $f(x,y,z)=w_2$ é o gráfico de uma superfície $S_2$ .

Exemplo 4. Seja $f(x,y,z)=z-\sqrt{x^2+y^2}.$

Faça $z=k$ , obtemos $k=z-\sqrt{x^2+y^2}$ ou $z=\sqrt{x^2+y^2}+k$ . Para cada $k$ teremos um cone circular reto com vértice ao longo do eixo-z.

Exemplo 5. Seja $f(x,y,z)=x^2-y^2+z^2.$

tomando $f(x,y,z)=k$ temos

$x^2-y^2+z^2=k, \quad k\in \mathbb {R}.$

consideremos a seguinte tabela:

Valor de $k$	Superfície de nível $k$ de $f$	Descrição da superfície
$k>0$	$x^2-y^2+z^2=k$	Hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo-y
$k=0$	$x^2-y^2+z^2=0$	Cone na direção do eixo-y
$k<0$	$-x^2+y^2-z^2=\|k\|$	Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo-y

Table 1.1: Tabela de superficies de nível $k$ de $f$