2.5 Teste da Razão e da Raíz

Theorem 61 (Teste da Razão). Consideremos uma série $\sum a_ n$ com e seja $l=\lim _{n\to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_ n}|.$

se $l<1$ então a série $\sum a_ n$ converge absolutamente.
se $l>1$ ou $l=\infty$ então $\sum a_ n$ diverge.
se $l=1$ nada se pode concluir.

Se $\lim _{n\to \infty } |\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}|=l<1$ então existe um número real $0<r<1$ tal que

$|\dfrac {a_{n+1}}{a_ n}|<r, \, \, \forall n>n_0$

desse modo

$|a_{n_0+k}|\leq r^ k |a_{n_0}|, \, \, \forall k\geq 1$

Como $\sum r^ k$ é convergente então $\sum |a_{n_0}|r^ k$ também converge e $\sum _{n=n_0+1}^{\infty } |a_ n|$ converge pelo teste de comparação, logo, $\sum _{n=n_0+1}^{\infty } a_ n$ converge absolutamente, o que implica que $\sum _{n=1}^{\infty } a_ n$ converge absolutamente (um número finito de termos não altera a convergência ou divergência da série). Se, por outro lado, $l>1$ , então $|a_{n+1}|>|a_ n|$ e se, $a_{n_0}\neq 0$ para algum $n_0$ então, $\lim _{n\to \infty } |a_ n|\neq 0$ o que nos dá $\lim _{n\to \infty } a_ n\neq 0$ . Logo, $\sum a_ n$ diverge (teste do n-ésimo termo).

Example 62. Considere a série as séries $\sum \frac{3^ n}{n!}$ e $\sum \frac{3^ n}{n^2}$ analise sobre a convergência ou divergência dessas séries.

Solução: Pelo teste da razão, temos

$\lim _{n\to \infty } \dfrac {3^{n+1}}{(n+1)!}\dfrac {n!}{3^ n}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {3}{n+1}=0<1$

então a série $\sum \frac{3^ n}{n!}$ converge pelo teste da razão. E como

$\lim _{n\to \infty } \dfrac {3^{n+1}}{(n+1)^2}\dfrac {n^2}{3^ n}=3>1$

então a série $\sum \frac{3^ n}{n^2}$ diverge pelo teste da razão.

Example 63. Considere a série $\sum (-1)^ n \dfrac {n^2+4}{2^ n}$ ela converge ou diverge?

Solução: Usando o teste da razão temos

$\lim _{n\to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_ n}|=\lim _{n\to \infty } \left|\dfrac {(-1)^{n+1} [(n+1)^2 +4]}{2^{n+1}}\dfrac {2^ n}{(-1)^ n (n^2+4)}\right|=\lim _{n\to \infty }\dfrac {1}{2}\displaystyle (\dfrac {n^2+2n+5}{n^2+4})=\dfrac {1}{2}<1$

o que implica que a série converge.

Theorem 64 (Teste da Raíz). Seja $\sum a_ n$ uma série numérica. Seja $\lim _{n\to \infty } \sqrt[n]{|a_ n|}=l$ . Temos que

se $l<1$ então $\sum a_ n$ converge absolutamente.
se $l>1$ então $\sum a_ n$ diverge.
se $l=1$ nada se conclui.

Suponha $l<1$ então existe $0<r<1$ tal que

$\sqrt[n]{|a_ n|}<r, \, \, \, \forall n>n_0$

$|a_ n|<r^ n, \, \, \, \forall n>n_0$

como $\sum r^ n$ converge segue que $\sum |a_ n|$ converge e, portanto, $\sum a_ n$ converge absolutamente. Por outro lado, se $l>1$ então existe $r>1$ tal que

$\sqrt[n]{|a_ n|}>r, \, \, \, \forall n>n_0$

$|a_ n|>r^ n, \, \, \, \forall n>n_0$

como $\lim _{n\to \infty } r^ n=+\infty$ então $\lim _{n\to \infty } |a_ n| =+\infty$ o que implica $\sum a_ n$ diverge (Por quê?).

Example 65. Considere a série $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {n}{2^ n}$ . Pelo teste da raíz: $\lim _{n\to \infty } \sqrt[n]{\dfrac {n}{2^ n}}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {\sqrt[n]{n}}{2}=\dfrac {1}{2}<1$ . Logo, $\sum _{n=1}^{\infty } \dfrac {n}{2^ n}$ converge absolutamente.

Example 66. A série $\sum \dfrac {n^ n}{2^ n}$ diverge pois, usando o teste da raíz, temos que $\lim _{n\to \infty } \sqrt[n]{\dfrac {n^ n}{2^ n}}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {n}{2}=+\infty$ .

Example 67. A série $\sum \dfrac {1}{n}$ diverge e a série $\sum \dfrac {1}{n^2}$ convergente mas $\lim _{n\to \infty } \sqrt[n]{\dfrac {1}{n}}=1,$ e o limite $\lim _{n \to \infty } \sqrt[n]{\dfrac {1}{n^2}}=\lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{\sqrt[n]{n^2}}=\lim _{n \to \infty } \dfrac {1}{n^{2/n}}=1.$ Se usarmos o teste da razão para essas mesmas séries obtemos resultados semelhantes do limite, ou seja, o limite será igual a $1.$ Por isso, quando $l=1$ o resultado é inconclusivo, pois a série tanto pode convergir como divergir.